а. Кажущаяся глубина водоёма, если смотреть вертикально вниз, 3 м. Какова его истинная глубина?
б. Самолёт пролетает над погрузившейся на небольшую глубину подводной лодкой на высоте 3 км. Какой покажется высота самолёта при наблюдении с лодки?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Глаз в воздухе, дно в воде. Малые углы, \(\sin\beta\approx\beta\), закон Снеллиуса \(\alpha=n\beta\). Треугольники над и под поверхностью дают \(h'/L=\alpha\), \(h/L=\beta\), откуда
\[ h'=h/n. \]Кажущаяся глубина 3 м, \(n=1{,}33\):
\[ h=n\cdot3=4\ \text{м}. \]б. Глаз в воде, самолёт в воздухе. Луч идёт из воздуха в воду: теперь «настоящий» угол в воздухе меньше преломлённого. Кажущаяся высота
\[ H'=nH=1{,}33\cdot3\approx4\ \text{км}. \]Лодка «неглубоко», так что слой воды над ней на ход лучей почти не влияет: вся преломляющая работа делается на поверхности.
Малые углы делают Снеллиуса линейным: \(\alpha=n\beta\), и кажущаяся глубина — отношение катетов одной пары треугольников. Из воздуха вниз \(h'=h/n\): три метра «на глаз» есть четыре настоящих при \(n=4/3\). Из воды вверх та же пара переворачивается, \(H'=nH\): самолёт на 3 км сидит на кажущихся 4 км. Предел \(n\to1\) оба сдвига гасит. Если лодка не «неглубоко», а на глубине \(h\), к самолёту добавится слой \(h/n\); при \(h\sim10\) м против 3 км это треть процента — условие как раз выкидывает эту поправку. Обратимость: дно 4 м\(\to\)3 м и самолёт 3 км\(\to\)4 км — одна геометрия.