Улитка сидит на дальней стенке прямоугольного аквариума ширины \(l\). Во сколько раз изменится видимый угловой размер улитки, если из аквариума слить воду? Наблюдатель расположился на расстоянии \(L\) от аквариума.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть линейный размер улитки \(s\ll L,l\). Без воды она на расстоянии \(L+l\), угловой размер
\[ \varphi_0=\frac{s}{L+l}. \]С водой дальняя стенка кажется ближе: кажущаяся толщина аквариума \(l/n\), кажущееся расстояние до улитки \(L+l/n\),
\[ \varphi=\frac{s}{L+l/n}. \]Слили воду — угол стал меньше. Во сколько раз:
\[ \frac{\varphi}{\varphi_0}=\frac{L+l}{L+l/n}. \]То есть угловой размер уменьшится в \(\dfrac{L+l}{L+l/n}\) раз.
Тонкое стекло стенок аквариума можно не считать: его оптическая толщина \(\delta(n_\text{ст}-1)\) много меньше \(l\) и \(L\). Если глаз смотрит не строго перпендикулярно, поправка второго порядка по углу; в школьной постановке её нет.
Числа, чтобы почувствовать формулу. Аквариум \(l=40\) см, глаз в метре (\(L=1\) м), вода \(n=4/3\): без воды улитка на \(1{,}40\) м, с водой — на \(L+l/n=1+0{,}30=1{,}30\) м. Угол вырастет в \(1{,}40/1{,}30\approx1{,}08\) раза — восемь процентов, глаз ещё замечает. Вплотную к стеклу (\(L\to0\)) выигрыш ровно \(n=4/3\): улитка «подъехала» с 40 до 30 см. Далеко, \(L=10\) м, отношение \(10{,}40/10{,}30\approx1{,}01\) — тонкий слой на горизонте уже не увеличивает. Формула \(\varphi/\varphi_0=(L+l)/(L+l/n)\) обе границы держит сама.