На плоскую поверхность стеклянного полуцилиндра падают под углом \(45^\circ\) световые лучи, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра. Из какой части боковой поверхности полуцилиндра будут выходить лучи света? Показатель преломления стекла \(n\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
На плоскую грань падение \(45^\circ\), в стекле \(\sin r=\sin45^\circ/n=1/(n\sqrt2)\). Пучок внутри параллелен.
Цилиндрическая поверхность: нормаль радиальна. Для луча, проходящего на расстоянии \(b\) от оси (прицельный параметр в стекле), \(\sin i=b/R\). Полное внутреннее отражение при \(b/R\ge1/n\), то есть при \(b\ge R/n\). Наружу выходят только лучи с \(|b|<R/n\).
Точки выхода этих лучей лежат на дуге, которую из центра видно под углом. Крайние вышедшие лучи касаются окружности радиуса \(R/n\) и бьют в цилиндр под критическим углом; центральный угол между крайними точками выхода равен \(2\arcsin(1/n)\). (Направление пучка внутри лишь поворачивает эту дугу как целое, ширину не меняет.)
Итак, свет выходит из части боковой поверхности, ограниченной углом
\[ \alpha=2\arcsin\frac1n. \]На диаметре падение \(45^\circ\), в стекле \(r=\arcsin\!\bigl(1/(n\sqrt2)\bigr)\). Дальше пучок параллелен, и на цилиндре \(\sin i=b/R\). Наружу выходят лишь лучи с \(b\lt R/n\), то есть дуга раствора \(\alpha=2\arcsin(1/n)\). Стекло \(n=1{,}5\): \(\alpha=2\arcsin(2/3)\approx83^\circ\), светится «нос», бока зеркальные. Вода \(n=4/3\): \(\alpha=2\arcsin(3/4)=97^\circ\) — шире, как окно Снеллиуса. Луч в центр (\(b=0\)) выходит всегда: \(i=0\). Предел \(n\to1\) раскрывает дугу на всю полуокружность \(180^\circ\); при \(n\to\infty\) дуга схлопывается в точку носа.