Тонкий пучок света, проходящий через центр стеклянного шара радиуса \(R\), фокусируется на расстоянии \(2R\) от его центра. Определите показатель преломления стекла.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Первая поверхность (воздух–стекло), предмет на бесконечности, \(R_1=+R\):
\[ \frac n{v_1}=\frac{n-1}R,\qquad v_1=\frac{nR}{n-1}. \]Это изображение лежит справа от первой поверхности. До второй — ещё диаметр \(2R\), так что для второй поверхности предмет виртуальный (лучи ещё не сошлись), \(u=v_1-2R=R(2-n)/(n-1)\).
Вторая поверхность (стекло–воздух), \(R_2=-R\):
\[ \frac1v-\frac n u=\frac{1-n}{-R}=\frac{n-1}R. \]Подставляем \(u\) и получаем \(v=R(2-n)/(2(n-1))\) — расстояние от задней поверхности. От центра это \(R+v\). По условию фокус в \(2R\) от центра, значит \(v=R\):
\[ \frac{R(2-n)}{2(n-1)}=R\qquad\Longrightarrow\qquad 2-n=2n-2\qquad\Longrightarrow\qquad 4=3n,\qquad n=\frac43. \]Шар из вещества с показателем воды собирает параксиальный пучок ровно на расстоянии радиуса за своей задней точкой.
Две сферы подряд. Первая (воздух\(\to\)стекло) сажает промежуточный фокус в \(v_1=nR/(n-1)\). До второй остаётся \(2R\), предмет для неё \(u=R(2-n)/(n-1)\) — при \(n\lt2\) мнимый, лучи ещё сходятся. Вторая (стекло\(\to\)воздух) даёт \(v=R(2-n)/(2(n-1))\) от задней точки. Условие «фокус в \(2R\) от центра» есть \(v=R\), откуда \(n=4/3\). Стекло \(n=1{,}5\) собрало бы ближе: \(v=0{,}5R\), от центра \(1{,}5R\). При \(n=2\) промежуточное изображение садится на заднюю поверхность, \(v=0\). Наш \(4/3\) как раз между 1 и 2: шар «из воды» фокусирует на диаметре за собой.