На тонкостенную сферическую колбу, помещённую в жидкость, падает параллельный тонкий пучок света так, что ось пучка проходит через центр колбы. На противоположной стороне колбы пучок имеет диаметр, вдвое больший диаметра пучка, падающего на колбу. Каков показатель преломления жидкости, в которую погружена колба?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Параллельный луч высоты \(a\) падает на переднюю поверхность (жидкость \(\to\) воздух, \(R_1=+R\)):
\[ \frac1{v_1}-\frac n{-\infty}=\frac{1-n}R,\qquad v_1=\frac R{1-n}<0. \]Мнимое изображение слева от передней стенки. Луч в полости идёт так, будто вышел из этой точки, и поэтому расходится. Наклон \(|a/v_1|=a(n-1)/R\). На пути \(2R\) до задней стенки высота вырастает на \(2R\cdot a(n-1)/R=2a(n-1)\):
\[ a'=a+2a(n-1)=a(2n-1). \]По условию \(a'=2a\), откуда \(2n-1=2\), \(n=3/2\).
Тонкая колба в жидкости — воздушный шар, рассеивающая линза. Передняя поверхность: \(1/v_1=(1-n)/R\), \(v_1=R/(1-n)\lt0\). Луч в полости расходится с наклоном \(a(n-1)/R\); на диаметре \(2R\) высота вырастает до \(a'=a+2a(n-1)=a(2n-1)\). Условие \(a'=2a\) даёт \(n=3/2\). При \(n=1{,}33\) (колба в воде) \(a'=1{,}66a\) — ещё не удвоение. При \(n=2\) уже \(a'=3a\). Предел \(n\to1\) оставляет \(a'=a\): снаружи тот же воздух, стенки тонкие, пучок не тронут. Диаметр снят именно на задней стенке, а не «где-то за колбой».