Тонкий пучок света, пройдя через полушарие из стекла с показателем преломления \(n\), собирается на расстоянии \(x\) от выпуклой поверхности. На каком расстоянии от плоской поверхности полушария соберутся лучи, если пучок пустить с обратной стороны?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть сначала свет падает на плоскую грань (так фокус оказывается за выпуклой поверхностью — это и есть \(x\)). Плоская граница параллельный пучок не трогает. Выпуклая (стекло\(\to\)воздух, \(R_2=-R\)) собирает его на расстоянии
\[ x=\frac R{n-1} \]от этой выпуклой поверхности.
Теперь наоборот: пучок на выпуклую грань. Первая поверхность (воздух\(\to\)стекло) даёт промежуточное изображение на \(v_1=nR/(n-1)\) справа. Плоская граница стоит на расстоянии \(R\) от неё; для плоскости предмет виртуальный, «за» ней на \(R/(n-1)\). Плоская граница (стекло\(\to\)воздух) не ломает направление, но меняет оптическую длину: \(n/u=1/y\), откуда
\[ y=\frac{R}{n(n-1)}=\frac x n. \]Собираются лучи на расстоянии \(x/n\) от плоской поверхности.
Сначала в плоскую: внутри пучок остаётся параллельным, собирает только выпуклая (стекло\(\to\)воздух), \(x=R/(n-1)\). Обратно: выпуклая из воздуха даёт \(v_1=nR/(n-1)\), до плоскости ещё \(R\), и плоский выход делит оптическую длину на \(n\): \(y=R/(n(n-1))=x/n\). Стекло \(n=1{,}5\), \(R=4\) см: \(x=8\) см за выпуклой, \(y\approx5{,}3\) см за плоской. Предел \(n\to1\) оба фокуса гонит на бесконечность, отношение \(1/n\) формально живёт. Если полушарие перевернуть «не той» стороной, \(x\) и \(y\) просто меняются ролями через это \(n\).