Каким должен быть внешний радиус изгиба световода, сделанного из прозрачного вещества с показателем преломления \(n\), чтобы при диаметре световода, равном \(l\), свет, вошедший в световод перпендикулярно плоскости его поперечного сечения, распространялся, не выходя через боковую поверхность наружу?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Внешний радиус изгиба \(R\), диаметр волокна \(l\), внутренний радиус \(R-l\). Луч, вошедший параллельно образующей у внутреннего края, в сечении — прямая, касательная к окружности радиуса \(R-l\).
Эта прямая пересекает внешнюю окружность радиуса \(R\). В треугольнике «центр изгиба — точка касания — точка падения» катет \(R-l\), гипотенуза \(R\). Угол между лучом и радиусом (нормалью к боковой поверхности) есть угол падения \(i\), и
\[ \sin i=\frac{R-l}{R}. \]Полное внутреннее отражение: \(i\ge\alpha_c\), \(\sin i\ge1/n\):
\[ \frac{R-l}{R}\ge\frac1n,\qquad 1-\frac lR\ge\frac1n,\qquad \frac lR\le\frac{n-1}n, \] \[ R\ge\frac{ln}{n-1}. \]Минимальный внешний радиус — \(R=ln/(n-1)\).
Самый опасный луч касается внутренней дуги радиуса \(R-l\), и в треугольнике с внешним радиусом \(R\) имеем \(\sin i=(R-l)/R\). ПВО: \((R-l)/R\ge1/n\), откуда \(R\ge ln/(n-1)\). Стекло \(n=1{,}5\), жила \(l=1\) мм: гнуть мельче \(R=3\) мм нельзя. Кварц \(n=1{,}46\) даёт \(R\approx3{,}2l\); алмаз \(n=2{,}4\) — уже \(R\approx1{,}7l\), почти «переломить». Предел \(n\to1+\) требует \(R\to\infty\): оптически пустое волокно свет не держит. При \(n\to\infty\) критический угол нулевой, формула сажает \(R\to l\) — наружный радиус не меньше диаметра, иначе внутренняя дуга выворачивается.