Из плексигласа изготовлен конус с углом при вершине \(2\alpha\). На основание конуса падает параллельный пучок света. Опишите поведение света. Показатель преломления плексигласа \(1{,}5\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Критический угол плексиглас–воздух: \(\sin\alpha_c=1/1{,}5=2/3\), \(\alpha_c=\arcsin(2/3)\). Полное отражение на образующей, если
\[ 90^\circ-\alpha>\arcsin\frac23\qquad\Longleftrightarrow\qquad\alpha<\arccos\frac23. \]Если \(\alpha>\arccos(2/3)\) (конус «тупой»), уже при первом ударе \(i<\alpha_c\): часть света преломляется наружу, часть отражается. Конус сразу «светится» боками.
Если \(\alpha<\arccos(2/3)\) (конус острый), первый удар — полное внутреннее отражение. После отражения луч составляет с осью другой угол. Геометрия конуса такова, что угол падения на образующую каждый раз уменьшается ровно на \(2\alpha\): нормаль к поверхности «поворачивается» на \(\alpha\) при переходе к следующей точке, плюс сам луч повернулся на \(2i\). Через несколько отражений \(i\) упадёт ниже \(\alpha_c\), и свет выйдет через боковую поверхность ближе к вершине.
На основание пучок падает по нормали и в плексиглас (\(n=1{,}5\)) входит без излома. На образующую первый удар идёт под \(i=90^\circ-\alpha\). Сравниваем с \(\alpha_c=\arcsin(2/3)\approx41{,}8^\circ\): полное отражение, пока \(\alpha\lt\arccos(2/3)\approx48{,}2^\circ\). Конус \(2\alpha=40^\circ\) (\(\alpha=20^\circ\)) зеркалит: после каждого отскока \(i\) падает на \(40^\circ\), через два удара \(i\) пробьёт \(41{,}8^\circ\) и свет выйдет у острия. Конус \(2\alpha=100^\circ\) «течёт» сразу. Предел \(\alpha\to0\) — цилиндр, \(i=90^\circ\) навсегда, световод без потерь. Число отражений до выхода порядка \((90^\circ-\alpha-\alpha_c)/(2\alpha)\).