На горизонтальной плоскости зачернён круг радиуса \(R\). В центре круга вертикально стоит, опираясь вершиной на его центр, стеклянный конус. Показатель преломления стекла \(n>1{,}5\). Угол раствора конуса \(2\alpha=60^\circ\), радиус основания \(R\). На круг смотрят с большого расстояния вдоль оси конуса. Каков его видимый радиус?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Угол между образующей и осью \(\alpha=30^\circ\). Параллельный оси луч идёт внутри стекла без излома и падает на бок под углом \(i=60^\circ\). Критический угол стекла с \(n>1{,}5\) меньше \(41{,}8^\circ\), поэтому \(60^\circ\) — полное внутреннее отражение.
После отражения луч идёт к оси под \(60^\circ\) к вертикали (это считается векторно: нормаль к образующей, закон отражения). Пусть луч вошёл в основание на расстоянии \(\rho\) от оси. Боковой поверхности он достигнет на высоте \(z=\rho/\mathrm{tg}\,30^\circ=\rho\sqrt3\) над вершиной. Оттуда до плоскости ещё \(z\), а тангенс угла с вертикалью равен \(\sqrt3\), так что по радиусу луч смещается на \(\sqrt3\cdot\rho\sqrt3=3\rho\) к оси и пересекает её «с запасом»: на плоскости он окажется на расстоянии \(2\rho\) по другую сторону от оси.
Чёрный круг — это \(r\le R\). Наш луч попадает в него, только если \(2\rho\le R\), то есть \(\rho\le R/2\). Значит, чёрным с большого расстояния выглядит кружок радиуса \(R/2\) на основании конуса.
Смотрим издалека вдоль оси — в глаз входят только лучи, вышедшие параллельно оси. По обратимости пустим их вниз: в основание они входят без излома и бьют в образующую под \(i=60^\circ\). У стекла с \(n\gt1{,}5\) критический угол меньше \(41{,}8^\circ\), так что \(60^\circ\) — чистое ПВО. Геометрия \(2\alpha=60^\circ\) сажает луч, вошедший на радиусе \(\rho\), в точку плоскости на \(2\rho\) по другую сторону оси. Чёрный круг \(r\le R\) «съедает» такие лучи при \(2\rho\le R\), видимый радиус основания \(R/2\). Если бы \(n=1{,}40\), при \(i=60^\circ\) ПВО уже не было бы, и ответ сменился бы: часть лучей ушла бы в плоскость без отражения.