При фотографировании Луны получено размытое изображение в виде диска радиуса \(r_1\). Резкое изображение Луны имело бы радиус \(r_2\). Определите, на какое расстояние нужно сместить фотопластинку, чтобы изображение на ней получилось резким. Фокусное расстояние линзы \(f\), диаметр \(D\), при этом \(r_2>D/2>r_1\). Областью изображения считать область попадания света на фотопластинку.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Луч от верхнего края оправы к нижнему краю резкого образа и симметричный ему пересекают плоскость, сдвинутую к линзе на \(l\), в точках, отстоящих от оси на \(r_1\). Подобие большого треугольника (катеты \(D/2+r_2\) на базе \(f\)) и малого (катеты \(r_2-r_1\) на базе \(l\)) даёт
\[ \frac{l}f=\frac{r_2-r_1}{r_2+D/2},\qquad l=\frac{r_2-r_1}{r_2+D/2}\,f. \]Пластинка сдвинута к линзе. (В книге числитель записан как \(r_1-r_2\): это тот же сдвиг со знаком «от фокуса к линзе».)
Луна на бесконечности: \(1/d+1/d'=1/f\) даёт \(d'=f\). Резкий диск радиуса \(r_2=\alpha f/2\) лежит в фокальной плоскости. Пока пластинка не там, освещённая область — сечение конуса, натянутого на оправу линзы диаметром \(D\) и на этот диск. Условие \(r_2>D/2>r_1\) говорит: пластинка ближе к линзе, чем фокус, и работают перекрёстные крайние лучи — от верхнего края оправы к нижнему краю резкого диска и наоборот. Где они пересекли пластинку, там и радиус \(r_1\).
Подобие: большой треугольник (катеты \(r_2+D/2\) на базе \(f\)) и малый (\(r_2-r_1\) на базе \(l\)) дают \(l=f(r_2-r_1)/(r_2+D/2)\). Числа: телевик \(f=2\) м, \(\alpha\approx0{,}5^\circ\), \(r_2\approx8{,}7\) мм; пусть \(D=15\) мм, \(r_1=5\) мм. Тогда \(l=2\cdot(8{,}7-5)/(8{,}7+7{,}5)\approx0{,}46\) м — сдвиг к линзе почти на полметра. При \(r_1\to r_2\) имеем \(l\to0\); при \(r_1\to0\) пластинка в плоскости перекрестья, \(l=f\,r_2/(r_2+D/2)\lt f\).