Объект съёмки движется на кинокамеру со скоростью \(v\). С какой скоростью нужно менять фокусное расстояние объектива и глубину кинокамеры, чтобы размер изображения оставался неизменным, если увеличение, даваемое кинокамерой, равно \(k\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть \(d(t)\) — расстояние до объекта, \(\dot d=-v\) (объект наезжает). Увеличение \(k=d'/d=\mathrm{const}\), значит глубина камеры \(b\equiv d'=kd\),
\[ \frac{db}{dt}=k\dot d,\qquad\left|\frac{db}{dt}\right|=kv. \]Из \(k=f/(d-f)\) следует \(f=kd/(k+1)\). Дифференцируем:
\[ \left|\frac{df}{dt}\right|=\frac{k}{k+1}v=\frac{vk}{1+k}. \]Знаки: когда объект ближе, \(f\) и \(b\) надо уменьшать (трансфокатор «в широкий угол», плёнку — к объективу), чтобы \(k\) не росло.
Постоянный размер кадра — это \(k=b/d=\mathrm{const}\). Из \(1/d+1/b=1/f\) тогда \(f=kd/(1+k)\), \(b=kd\). Объект наезжает, \(\dot d=-v\), поэтому \(\dot f=-vk/(1+k)\), \(\dot b=-vk\). Ньютон: \(x=d-f=d/(1+k)\) тоже едет пропорционально \(d\), а \(x'=f^2/x=k^2 d/(1+k)\) — глубина за главной плоскостью. Знаки: объект ближе — и \(f\), и \(b\) надо уменьшать, иначе \(k\) само вырастет.
Числа. Пусть \(k=1/10\) (дальний план), \(v=2\) м/с. Тогда \(|\dot f|=0{,}18\) м/с, \(|\dot b|=0{,}20\) м/с — трансфокатор крутится лениво. При макро \(k=1\) уже \(|\dot f|=v/2\), \(|\dot b|=v\): камеру надо двигать так же резво, как сам объект. Предел \(k\to0\) (бесконечно далёкий план): фокус почти не трогаем, \(f\approx\mathrm{const}\), как обычная съёмка пейзажа. Размерность обоих ответов — м/с.