В течение какого времени может быть открыт затвор фотоаппарата при съёмке прыжка в воду с вышки? Фотографируется момент погружения в воду. Высота вышки 5 м, фотограф находится на расстоянии 10 м от прыгуна. Объектив аппарата имеет фокусное расстояние 10 см, на негативе допустимо размытие изображения 0,5 мм.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
С пяти метров, без начальной скорости (школьная оценка),
\[ v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot10\cdot5}=10\ \text{м/с}. \]Предмет далеко: \(d=10\) м, \(f=0{,}10\) м, \(d\gg f\), увеличение
\[ \Gamma=\frac{f}{d-f}\approx\frac{f}d=0{,}010. \]На плёнке прыгун движется со скоростью \(v'=v\Gamma=0{,}10\) м/с. Допустимое смазывание \(\delta=0{,}5\) мм \(=5\cdot10^{-4}\) м:
\[ t=\frac{\delta}{v'}=\frac{5\cdot10^{-4}}{0{,}10}=5\cdot10^{-3}\ \text{с}=5\ \text{мс}. \]Прыгун у воды имеет скорость \(v=\sqrt{2gH}=\sqrt{2\cdot10\cdot5}=10\) м/с. За выдержку \(t\) он смещается на \(vt\), на негативе это \(vt\cdot(f/L)\). Требуем \(vt\,f/L\le0{,}5\) мм:
\[ t\le\frac{5\cdot10^{-4}\cdot10}{10\cdot0{,}10}=5\cdot10^{-3}\ \text{с}=5\ \text{мс}. \]Точная формула линзы чуть поправляет школьное \(\Gamma\approx f/d\). Здесь \(d=10\) м, \(f=0{,}10\) м, \(d'=df/(d-f)=1/9{,}9\approx0{,}101\) м, \(\Gamma=d'/d\approx0{,}0101\) вместо \(0{,}010\). На плёнке прыгун бежит со скоростью \(v\Gamma\approx0{,}101\) м/с, и \(t=\delta/v\Gamma\) меняется на процент — выдержка по-прежнему \(5\) мс. Ньютон: \(x=d-f\approx9{,}9\) м, \(x'=f^2/x\approx1\) мм, плёнка почти в фокальной плоскости, как и должно быть при \(d\gg f\).
Скорость у воды \(v=\sqrt{2gH}=10\) м/с при \(g=10\). За 5 мс тело пролетает 5 см; на негативе это ровно допуск 0,5 мм. Если взять \(g=9{,}8\), выйдет \(v=9{,}9\) м/с и \(t\approx5{,}1\) мс — ловить нечего. Реальный прыгун отталкивается, скорость больше: выдержку лучше поставить 1/250 с. Луч через центр объектива и луч через край диафрагмы встречаются на плёнке в одной точке только если наводка верна; иначе к смазу движения добавится кружок рассеяния.