Изображение предмета на матовом стекле фотоаппарата при фотографировании с расстояния 15 м получилось высоты 30 мм, а с расстояния 9 м — высоты 51 мм. Найдите фокусное расстояние объектива.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть высота предмета \(H\). Тогда
\[ h=\frac{Hf}{d-f}. \]Для двух съёмок
\[ \frac{h_1}{h_2}=\frac{d_2-f}{d_1-f},\qquad \frac{30}{51}=\frac{9-f}{15-f}. \]Метры и миллиметры в отношении не встречаются: \(f\) выйдет в метрах, как и \(d\).
\[ 30(15-f)=51(9-f),\qquad 450-30f=459-51f,\qquad 21f=9,\qquad f=\frac3{7}\ \text{м}. \]Формула линзы \(1/a+1/b=1/f\), увеличение \(k=b/a\). Из двух съёмок \(h\propto f/(a-f)\):
\[ \frac{30}{51}=\frac{9-f}{15-f}\cdot\frac{15}{9}\quad\Longrightarrow\quad f=\frac37\ \text{м}. \]Высота кадра \(h=H\cdot f/(d-f)\) — это \(\Gamma=d'/d\) после формулы \(1/d+1/d'=1/f\). Отношение двух высот не содержит лишнего \(d_1/d_2\): \(h_1/h_2=(d_2-f)/(d_1-f)\). Отсюда \(30/51=(9-f)/(15-f)\) и \(f=3/7\) м, без множителя \(15/9\). Ньютон говорит то же: \(x=d-f\), \(x'=f^2/x\), \(\Gamma=x'/d=f/(d-f)\).
Проверка числом. \(f\approx0{,}429\) м. С 15 м: \(\Gamma=0{,}429/14{,}57\approx0{,}0294\), предмет высоты \(H=30/0{,}0294\approx1020\) мм. С 9 м: \(\Gamma=0{,}429/8{,}57\approx0{,}0501\), \(h=1020\cdot0{,}0501\approx51\) мм — попали. Объектив \(43\) см — длиннофокусный портретник: с 9–15 м как раз поясной кадр. Предел \(f\ll d\) дал бы просто \(h\propto1/d\), отношение \(51/30\approx1{,}70\) против \(15/9\approx1{,}67\); вся поправка на конечное \(f\) — эти три сотых, и они как раз рождают \(3/7\).