Предмет в виде отрезка длины \(l\) расположен вдоль оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием \(f\), дающей действительное изображение всех его точек. Середина отрезка расположена на расстоянии \(a\) от линзы. Определите продольное увеличение предмета.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Концы: \(d_{1,2}=a\pm l/2\). Чтобы все точки давали действительное изображение, нужно \(d_1>f\), то есть \(a-l/2>f\).
\[ d'=\frac{fd}{d-f},\qquad l'=|d_1'-d_2'|. \]Разность:
\[ d_1'-d_2'=f\left(\frac{d_1}{d_1-f}-\frac{d_2}{d_2-f}\right)=f\cdot\frac{f(d_2-d_1)}{(d_1-f)(d_2-f)}=\frac{f^2 l}{(a-f)^2-l^2/4}. \]Отсюда продольное увеличение
\[ k=\frac{f^2}{(a-f)^2-l^2/4}. \]При \(l\to0\) остаётся привычное \(k_\parallel=(f/(a-f))^2=\Gamma_\perp^2\): продольное увеличение есть квадрат поперечного.
Концы отрезка: \(d_\pm=a\pm l/2\). Формула линзы \(d'=fd/(d-f)\) на каждом, разность — длина образа. Ньютон короче: \(x_\pm=(a-f)\pm l/2\), \(x'=f^2/x\), \(l'=f^2\bigl(1/x_--1/x_+\bigr)=f^2 l/\bigl((a-f)^2-l^2/4\bigr)\). Делим на \(l\) — и есть \(k\). При \(l\to0\) остаётся \(k=(f/(a-f))^2=\Gamma_\perp^2\): продольное увеличение есть квадрат поперечного. Для действительных образов обоих концов нужно \(a-l/2>f\).
Числа. \(f=10\) см, середина в \(a=20\) см (двойной фокус), отрезок \(l=4\) см. Тогда \(k=100/(100-4)\approx1{,}04\): почти «один к одному», как и должно быть в окрестности \(2f\). Концы: \(d=18\) и \(22\) см, \(d'=22{,}5\) и \(18{,}3\) см, \(|l'|\approx4{,}2\) см. Если тот же отрезок пододвинуть к фокусу, \(a=13\) см, знаменатель \(9-4=5\), \(k=20\): ближний конец уже «надувается» вдоль оси. При \(a-l/2\to f\) знаменатель обнуляется, \(k\to\infty\).