На оптической оси \(AB\) собирающей линзы расположено плоское зеркальце, вращающееся с угловой скоростью \(\omega\) вокруг оси, проходящей через точку \(A\) и перпендикулярной плоскости рисунка. На зеркальце падает параллельный пучок лучей, который после отражения фокусируется на экране. Фокусное расстояние линзы \(f\). Найдите скорость светового пятна на экране в момент, когда оно пересекает оптическую ось. Плоскость экрана перпендикулярна оптической оси.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть зеркальце повернуто на малый угол \(\theta\) от положения, в котором отражённый пучок идёт вдоль оси. Угол падения равен углу отражения, поэтому сам пучок отклоняется на \(2\theta\). Значит \(\varphi=2\theta\), \(\dot\varphi=2\omega\).
Экран стоит перпендикулярно оси. Чтобы параллельный пучок фокусировался в точку при любом малом \(\varphi\), экран должен быть в фокальной плоскости линзы. Тогда
\[ y=f\,\mathrm{tg}\,\varphi\approx f\varphi=2f\theta. \]В момент пересечения оси \(\theta=0\), \(\mathrm{tg}\,\varphi=\varphi\), и
\[ v=\dot y=2\omega f. \]Где именно на оси стоит зеркальце — неважно: параллельный пучок «не помнит» точки отражения, только направление.
Параллельный пучок «живёт на бесконечности»: \(d=\infty\), формула линзы сразу сажает его в фокальную плоскость, \(d'=f\). Значит, экран обязан стоять в фокальной плоскости — иначе пятно не точка, а кружок. Два луча пучка (верхний и нижний) после линзы пересекаются ровно в одной точке фокальной плоскости; эта точка и есть наше пятно. Зеркальце поворачивает нормаль на \(\theta\), отражённый пучок — на \(2\theta\) (закон отражения), поэтому угловая скорость пучка \(2\omega\), а линейная скорость пятна \(v=f\cdot 2\omega\).
Где на оси стоит зеркальце — неважно: у параллельного пучка нет «точки старта», только направление. Числа: школьная линза \(f=20\) см и \(\omega=10\) рад/с дают \(v=4\) м/с — пятно пробегает тетрадный лист за сотую секунды. При \(\omega=0\) пятно стоит на оси. Если экран сдвинуть из фокальной плоскости на \(\delta\), пятно размажется в диск диаметра \(\sim D\delta/f\) (\(D\) — оправа), и говорить о «скорости точки» уже нельзя.