На каком расстоянии от линзы расположен предмет, если расстояние между предметом и его действительным изображением минимально? Фокусное расстояние линзы \(f\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Для действительного изображения \(d>f\), \(d'>0\),
\[ L(d)=d+\frac{df}{d-f}=\frac{d^2}{d-f}. \]Берём производную: удобно \(L=d+f+f^2/(d-f)\) (разделили с остатком). Тогда \(dL/dd=1-f^2/(d-f)^2\). Нуль при \(d-f=f\), то есть
\[ d=2f. \]При этом \(d'=2f\), \(L_\min=4f\). Вторая производная положительна — минимум. Это то самое положение, в котором в предыдущей задаче два корня Бесселя сливаются.
Из формулы линзы \(d'=fd/(d-f)\). Сумма \(s=d+d'=d^2/(d-f)\). Минимум по \(d\): производная \(s'(d)=0\) даёт \(d=2f\), и тогда \(d'=2f\), \(s_\min=4f\). Это то же положение, что в методе Бесселя при совпавших положениях линзы. Предмет в двойном фокусе, увеличение \(-1\).
Ньютон делает минимум почти очевидным. Положим \(x=d-f>0\): тогда \(x'=f^2/x\) и расстояние предмет–образ \(L=x+2f+x'=2f+x+f^2/x\). Сумма \(x+f^2/x\) не меньше \(2f\) (неравенство о среднем), равенство при \(x=f\). Итого \(L\ge4f\), минимум при \(d=2f\), \(d'=2f\). Тот же \(d=2f\), где в методе Бесселя два положения сливаются. В книге набрано «\(f=2f\)» — опечатка, речь о расстоянии предмета.
Числа. Линза \(f=10\) см: ближе чем на \(40\) см экран к предмету не пододвинуть, как ни ставь линзу. При \(d=12\) см уже \(d'=60\) см, \(L=72\) см; при \(d=50\) см \(d'=12{,}5\) см, \(L=62{,}5\) см; оба хуже, чем \(40\). При \(d\to f+\) изображение улетает на бесконечность; при \(d\to\infty\) сам предмет уезжает — яма с дном \(4f\) между этими обрывами.