Источник света находится на расстоянии 90 см от экрана. Тонкая собирающая линза, расположенная между экраном и источником, даёт чёткое изображение источника на экране в двух положениях. Определите фокусное расстояние линзы, если расстояние между положениями линзы, дающими чёткое изображение, 30 см.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть в одном положении \(d\) и \(d'=L-d\). Тогда
\[ \frac1d+\frac1{L-d}=\frac1f\qquad\Longrightarrow\qquad d(L-d)=fL. \]Квадратное уравнение \(d^2-Ld+fL=0\). Два корня \(d_{1,2}\), их разность — как раз \(a=30\) см:
\[ a=\sqrt{L^2-4fL},\qquad a^2=L^2-4fL,\qquad f=\frac{L^2-a^2}{4L}. \]Подставляем \(L=90\) см, \(a=30\) см:
\[ f=\frac{8100-900}{360}=\frac{7200}{360}=20\ \text{см}. \]Два положения: \(d=30\) см и \(d=60\) см. Изображения взаимно обратны по увеличению: \(\Gamma\) и \(1/\Gamma\).
Метод Бесселя — прямое следствие симметрии \(d\leftrightarrow d'\) в \(1/d+1/d'=1/f\). Два корня \(d_{1,2}=(L\pm a)/2\): здесь \(60\) и \(30\) см. Ньютон проверяет оба сразу. Первое положение: \(x=30-20=10\) см, \(x'=f^2/x=40\) см, \(d'=60\) см. Второе: \(x=40\) см, \(x'=10\) см, \(d'=30\) см. Увеличения взаимно обратны: \(\Gamma_1=-2\), \(\Gamma_2=-1/2\). Произведение \(|\Gamma_1\Gamma_2|=1\) — так и должно быть: поменяли предмет и экран местами.
Предел \(L\to 4f+\). Дискриминант \(L^2-4fL\to0\), два положения сливаются в одно: линза ровно посередине, \(d=d'=2f\), \(k=-1\). При \(L=80\) см и нашей \(f=20\) см запаса уже нет — чёткое изображение будет только в одной точке. При \(L=90\) см запас 10 см, и \(a=\sqrt{90^2-4\cdot20\cdot90}=30\) см ровно сходится с условием. Если бы линза была слабее, \(f=25\) см, то \(4f=100>90\) — ни одного положения.