Острие конуса с углом \(2\alpha\) рассматривается через линзу с фокусным расстоянием \(f\), расположенную на расстоянии \(a\) от вершины конуса (\(a<f\)). Каким виден угол конуса через линзу? Ось линзы проходит через ось симметрии конуса.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Формула линзы: \(1/a+1/a'=1/f\), \(a'=af/(a-f)<0\) — образ с той же стороны, на расстоянии \(|a'|=af/(f-a)\) от линзы.
Луч-образующая идёт из вершины под углом \(\alpha\) к оси и встречает линзу на высоте \(h=a\,\mathrm{tg}\,\alpha\). Смотря в линзу, мы относим этот луч к мнимой вершине: он «выходит» из точки на оси на расстоянии \(|a'|\) и проходит ту же высоту \(h\). Поэтому
\[ \mathrm{tg}\,\alpha'=\frac h{|a'|}=\frac{a\,\mathrm{tg}\,\alpha}{af/(f-a)}=\left(1-\frac a f\right)\mathrm{tg}\,\alpha. \]В книге набрано «\(1-\alpha/f\)»: опечатка, речь об \(a/f\).
Вершина на оси, \(a\lt f\): образ мнимый, \(a'=af/(a-f)\lt 0\), \(|a'|=af/(f-a)\). Образующая — луч из вершины под углом \(\alpha\); он бьёт в линзу на высоте \(h=a\,\mathrm{tg}\,\alpha\). Второй луч — сам осевой, идёт без излома. Смотря в линзу, мы относим образующую к мнимой вершине: \(\mathrm{tg}\,\alpha'=h/|a'|=(1-a/f)\,\mathrm{tg}\,\alpha\). Ньютон: \(x=a-f\lt 0\), \(x'=f^2/x\), \(|a'|=|f+x'|=af/(f-a)\) — то же. В книге набрано «\(1-\alpha/f\)»: опечатка, речь об \(a/f\).
Числа. Пусть \(a=f/2\), \(\alpha=30^\circ\). Тогда \(\mathrm{tg}\,\alpha'=(1/2)\mathrm{tg}\,30^\circ=1/(2\sqrt{3})\), \(\alpha'\approx16^\circ\): конус сплющился почти вдвое. При \(a\to0\) линза вплотную к острию, \(\alpha'\to\alpha\). При \(a\to f-\) образ уходит на \(-\infty\), \(\alpha'\to0\): образующие кажутся почти параллельными оси, конус — «иголка». Оба предела читаются с формулы сразу.