Определите максимальное увеличение, с которым видна рыбка, плавающая в сферическом аквариуме.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть радиус шара \(R\), \(n=4/3\). Рыбка у задней стенки, свет идёт к нам через воду и ломается на передней поверхности. Предмет в воде на расстоянии \(2R\) от этой поверхности, \(R_1=-R\) (центр кривизны слева, если свет вправо к наблюдателю — аккуратно с знаками).
Формула сферической границы \(n_2/v-n_1/u=(n_2-n_1)/R\). Свет из воды в воздух, \(u=-2R\), \(n_1=4/3\), \(n_2=1\), \(R=-R\):
\[ \frac1v-\frac{4/3}{-2R}=\frac{1-4/3}{-R}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac1v+\frac2{3R}=\frac1{3R},\qquad v=-3R. \]Мнимое изображение в \(3R\) «за» передней поверхностью, то есть на \(R\) дальше задней стенки. Поперечное увеличение границы
\[ k=\frac{n_1 v}{n_2 u}=\frac{(4/3)(-3R)}{1\cdot(-2R)}=2. \]У центра \(k=1\) (лучи через центр не ломаются), у ближней стенки поверхность почти плоская, \(k\approx1\). Двойка — максимум.
Сферический аквариум — одна преломляющая поверхность вода–воздух, когда рыбка у дальней стенки. Формула границы \(n_2/v-n_1/u=(n_2-n_1)/R\): свет из воды, \(n_1=4/3\), \(n_2=1\), \(u=-2R\), \(R=-R\). Выходит \(v=-3R\), поперечное увеличение \(k=n_1 v/(n_2 u)=2\). У центра лучи через шар идут почти без излома, \(k=1\); у ближней стенки поверхность почти плоская, снова \(k\approx1\). Двойка — максимум.
Числа. Шар \(R=15\) см, рыбка 4 см у задней стенки: образ сидит в 45 см за передней поверхностью и имеет длину 8 см. Золотая рыбка у дальней стенки круглого аквариума и правда кажется крупнее. При \(n=1\) (пустота) было бы \(k=1\). Если смотреть не из воздуха, а из той же воды, преломления нет и увеличение снова единица. Формула \(k=nR/(R+(n-1)d)\) для рыбки на глубине \(d\) от передней стенки при \(d=2R\) снова даёт 2.