а. На фокусном расстоянии \(f\) от линзы расположено плоское зеркало. Найдите, на каком расстоянии от линзы будет находиться изображение предмета, расположенного на расстоянии \(a\) от линзы.
б. Плоскую сторону плоско-выпуклой линзы, фокусное расстояние которой \(f\), посеребрили. Найдите фокусное расстояние получившегося зеркала.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Предмет слева на расстоянии \(a\), линза, справа в фокальной плоскости — зеркало.
Лучи, прошедшие мимо зеркала (или если зеркало маленькое), дают обычное изображение линзы:
\[ l_2=a'= \frac{af}{a-f}. \]Книжный \(l_2=a-f\) — это расстояние от зеркала до этого образа (образ в \(af/(a-f)\) от линзы, зеркало в \(f\), разность \(af/(a-f)-f=f^2/(a-f)\); в ответах стоит \(a-f\), измерение от другой точки). Второй, «возвратный» образ: после линзы лучи сходятся к точке \(v=af/(a-f)\). Для зеркала в плоскости \(F\) это виртуальный предмет на расстоянии \(v-f=f^2/(a-f)\) за зеркалом; плоское зеркало ставит симметричный образ, и он лежит на расстоянии \(f(a-2f)/(a-f)\) от линзы. Возвращаясь через линзу, получаем изображение на
\[ l_1=\frac{f(a-2f)}{a-f} \]от линзы (с той стороны, куда пошли отражённые лучи).
б. Тонкая плоско-выпуклая, посеребрена плоская грань. Свет входит через выпуклую, отражается от плоскости и выходит той же выпуклой. Две преломляющие поверхности и одно плоское зеркало: эквивалентная сила \(2/f\) (линза пройдена дважды, плоское зеркало силы не даёт). Фокусное расстояние получившегося зеркала
\[ f'=f/2. \]а. Зеркало стоит в фокальной плоскости. Лучи, зеркала не задевшие, дают обычный образ линзы: \(d'=af/(a-f)\). Ньютон от фокуса (то есть от зеркала): \(x=a-f\), \(x'=f^2/x=f^2/(a-f)\) — это расстояние от зеркала до этого образа. Книжный \(l_2=a-f\) совпадает с \(x\), а не с \(x'\): в ответах, видимо, отсчитано от другой точки. Возвратный ход: после отражения промежуточный образ на \(l_1=f(a-2f)/(a-f)\) от линзы, и уже этот пучок идёт назад через линзу. Два семейства лучей — два изображения.
б. Свет проходит выпуклую поверхность дважды, плоское зеркало силы не даёт: \(D'=2/f\), \(f'=f/2\). Числа: \(f=20\) см, посеребрённая плоско-выпуклая работает как вогнутое зеркало на 10 см. Для пункта «а» при \(a=3f\) имеем \(l_1=f/2\), книжный \(l_2=2f\). Предел \(a\to\infty\): параллельный пучок садится в \(F\), где стоит зеркало, и возвращается в себя — \(l_1\to f\). Это другая система, чем посеребрённая линза: там зеркало вплотную, здесь — в фокальной плоскости.