Система состоит из двух одинаковых линз с общей оптической осью. Расстояние между линзами \(l\), фокусное расстояние линз \(f\). Найдите фокусное расстояние системы, если \(l\ll f\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Параллельный пучок слева. Первая линза послала бы его в точку на расстоянии \(f\) от себя. Для второй это виртуальный предмет в \(f-l\) справа от неё, \(u=-(f-l)\).
\[ \frac1{-(f-l)}+\frac1v=\frac1f,\qquad v=\frac{f(f-l)}{2f-l}. \]От первой линзы до образа: \(l+v=l+f(f-l)/(2f-l)\). При \(l\ll f\)
\[ l+v=\frac{f^2+fl-l^2}{2f-l}\approx\frac{f^2+fl}{2f}\left(1+\frac l{2f}\right)\approx\frac f2+\frac l2+\frac l4=\frac f2+\frac{3l}4. \]Именно это расстояние в задаче названо фокусным расстоянием системы «от первой линзы».
Без зазора было бы \(f/2\). Малый зазор сдвигает и силу, и главную плоскость. Параллельный пучок: первая линза послала бы его в точку на расстоянии \(f\); для второй это виртуальный предмет в \(f-l\) справа, \(u=-(f-l)\). Формула линзы даёт \(v=f(f-l)/(2f-l)\). От первой линзы до образа \(l+v=(f^2+fl-l^2)/(2f-l)\). При \(l\ll f\) раскладываем: \(f/2+3l/4\). Ньютон после первой: \(x=f-l\), но предмет мнимый — знаки аккуратные.
Числа. \(f=20\) см, \(l=2\) см: приближение \(10+1{,}5=11{,}5\) см; точно \(2+20\cdot18/38=11{,}47\) см. Поправка \(3l/4\) положительна: зазор отодвигает фокус от первой линзы. Формула Гульстранда \(1/F=2/f-l/f^2\) даёт само эквивалентное \(F\approx f/2+l/4\); разница \(l/2\) — расстояние от первой линзы до главной плоскости, и \(l/2+l/4=3l/4\). При \(l=0\) оба ответа сходятся в \(f/2\).