Оптическая система состоит из собирающей линзы с фокусным расстоянием \(f\) и зеркального шарика радиуса \(R\), центр которого находится на оптической оси линзы на расстоянии \(d\) от неё. Определите расстояние от линзы до точечного источника \(S\), расположенного на оптической оси системы, при котором изображение источника совпадает с самим источником.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Центр шарика \(C\) на расстоянии \(d\) от линзы, полюс — на \(d-R\).
Образ в центре. \(1/x+1/d=1/f\), \(x=fd/(d-f)\). Нужен действительный образ, \(d>f\).
Образ в полюсе. \(1/x+1/(d-R)=1/f\), \(x=f(d-R)/(d-R-f)\). Действительный образ в полюсе — только если \(d-R>f\), то есть \(d>R+f\).
Сводка:
— при \(d>R+f\) оба варианта: \(x_1=f(d-R)/(d-R-f)\) и \(x_2=fd/(d-f)\);
— при \(f<d<R+f\) только центр: \(x=fd/(d-f)\);
— при \(d<f\) действительного промежуточного образа справа нет, решения нет.
(В книге во второй строке набрано \(d-F\): та же \(f\).)
Самосовмещение: после отражения от шарика и обратного хода через линзу лучи должны вернуться в \(S\). У зеркальной сферы две самосопряжённые точки — центр (лучи по радиусам, идут в себя) и полюс (точка на поверхности). Линза должна посадить \(S\) в одну из них. Образ в центре: \(1/x+1/d=1/f\), \(x=fd/(d-f)\), нужно \(d>f\). Образ в полюсе: \(1/x+1/(d-R)=1/f\), \(x=f(d-R)/(d-R-f)\), нужно \(d>R+f\). Ньютон: \(x_\text{об}=d-f\), \(x'=f^2/x\), требуем \(f+x'=d\) или \(d-R\).
Числа. \(f=10\) см, \(d=40\) см, \(R=5\) см. Тогда \(x_2=40\cdot10/30\approx13{,}3\) см (в центр) и \(x_1=35\cdot10/25=14\) см (в полюс). Оба больше \(f\), оба годятся. При \(R\to0\) шарик — точка в \(C\), остаётся только \(x=fd/(d-f)\). При \(d\lt f\) линза не даёт действительного образа справа, сажать некуда. В книге во второй строке набрано \(d-F\): та же \(f\).