Вогнутое сферическое зеркало радиуса \(R\) даёт изображение источника, которое совпадает с самим источником. Когда в зеркало налили немного жидкости, между источником и зеркалом появилось второе изображение, расположенное на расстоянии \(l\) от источника, \(l<R\). Найдите показатель преломления жидкости.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Источник \(S\) в центре, \(SP=R\). Слой тонкий, плоская поверхность почти в полюсе.
Воздух \(\to\) жидкость, плоскость: \(n/v-1/(-R)=0\), \(v=-nR\). Для зеркала предмет на расстоянии \(nR\). Формула зеркала \(1/u+1/w=2/R\):
\[ \frac1{nR}+\frac1w=\frac2R,\qquad w=\frac{nR}{2n-1}. \]Обратно, жидкость \(\to\) воздух, плоскость: \(1/v'-n/(-w)=0\), \(v'=w/n=R/(2n-1)\). Это и есть окончательное изображение, считая от полюса. От источника его отделяет
\[ l=R-\frac R{2n-1}=\frac{2R(n-1)}{2n-1}. \]Отсюда \(l(2n-1)=2R(n-1)\), \(2nl-l=2Rn-2R\), \(2n(R-l)=2R-l\),
\[ n=\frac{R-l/2}{R-l}. \]Источник совпал с образом — он в центре кривизны, \(SP=R\). Лужица у полюса тонкая: плоская граница воздух–жидкость почти в полюсе плюс то же сферическое зеркало. Ход: преломление на плоскости (\(n/v-1/(-R)=0\), \(v=-nR\)), отражение (\(1/(nR)+1/w=2/R\), \(w=nR/(2n-1)\)), преломление обратно (\(v'=w/n=R/(2n-1)\)). От источника до этого образа \(l=R-R/(2n-1)=2R(n-1)/(2n-1)\), откуда \(n=(R-l/2)/(R-l)\).
Два луча: осевой (не ломается) и параксиальный, который преломился на плоскости, ударил в сферу, отразился и вышел. Числа. Вода \(n=4/3\): \(l=2R/5\). Зеркало \(R=20\) см даёт \(l=8\) см, и формула возвращает \(n=(20-4)/(20-8)=4/3\). При \(n=1\) жидкости нет, \(l=0\). При \(n\to\infty\) образ садится в полюс, \(l\to R\). Знаменатель \(R-l>0\) как раз потому, что второе изображение между источником и полюсом.