Две тонкие плоско-выпуклые линзы, фокусное расстояние каждой из которых в воздухе равно \(f\), помещены в оправу так, что их выпуклые поверхности соприкасаются. Определите фокусное расстояние такой системы в жидкости с показателем преломления \(n\). Считать, что внутрь оправы жидкость не попадает. Как изменится ответ, если жидкость попадёт между линзами? Показатель преломления стекла, из которого сделаны линзы, \(n_0\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Жидкость не входит. Зазор — воздух, внутренние поверхности как в воздухе. Сила системы та же, что в воздухе: две линзы вплотную, \(D=2/f\). Но фокусное расстояние в среде \(n\) есть \(n/D\): геометрически фокус дальше в \(n\) раз,
\[ f_1=\frac{nf}2. \]Жидкость вошла. Теперь каждая плоско-выпуклая целиком в жидкости:
\[ \frac1{f_\text{л}}=\left(\frac{n_0}n-1\right)\frac1R=\frac{n_0-n}{n(n_0-1)f}. \]Две штуки:
\[ f_2=\frac{n(n_0-1)}{2(n_0-n)}\,f. \]В воздухе каждая плоско-выпуклая \(1/f=(n_0-1)/R\), плоская грань силы не даёт. Жидкость снаружи, внутрь оправы не зашла: внутренние сферы по-прежнему граничат с воздухом, сила системы \(D=2/f\). Но фокусное расстояние в среде \(n\) есть \(n/D\): \(f_1=nf/2\). Если жидкость вошла, каждая линза целиком в среде: \(1/f_\text{л}=(n_0/n-1)/R=(n_0-n)/(n(n_0-1)f)\), две штуки дают \(f_2=n(n_0-1)f/(2(n_0-n))\).
Числа. \(f=10\) см, \(n=4/3\), \(n_0=1{,}5\). Тогда \(f_1\approx6{,}7\) см. С жидкостью внутри: \(f_2=(4/3)\cdot0{,}5/(2\cdot0{,}17)\cdot10\approx20\) см — система втрое слабее. При \(n=1\) оба ответа дают \(f/2\). При \(n\to n_0\) второй уходит на бесконечность: стекло в «своей» жидкости невидимо. Первый остаётся \(n_0 f/2\): воздушный зазор работает как сильная рассеивающая «воздушная линза» в стекле, система не пропадает.