Фокусное расстояние объектива телескопа \(f\). Во сколько раз изменится его угловое увеличение при наблюдении объектов, удалённых от телескопа на конечное расстояние \(a\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Объект на бесконечности: \(h_\infty=\alpha f\), увеличение трубы \(\Gamma_\infty=h_\infty/f_\text{ок}=\alpha f/f_\text{ок}\).
Объект на расстоянии \(a\): \(1/a+1/a'=1/f\), \(a'=af/(a-f)\). Линейный размер образа \(h=\alpha_\text{предм}\cdot a'\) в тех же обозначениях, или проще — отношение к «бесконечному» образу:
\[ \frac{h}{h_\infty}=\frac{a'}{f}=\frac a{a-f}. \]Окуляр смотрит на более крупный промежуточный образ, угловое увеличение растёт в \(a/(a-f)\) раз.
Угловое увеличение трубы задаёт отношение размера промежуточного образа к фокусу окуляра. Для бесконечности образ в фокальной плоскости объектива, \(h_\infty=\alpha f\), \(\Gamma_\infty=f/f_\text{ок}\). Для конечного \(a\): \(1/a+1/a'=1/f\), \(a'=af/(a-f)\). Образ дальше фокуса и крупнее: \(h/h_\infty=a'/f=a/(a-f)\). Окуляр смотрит на более крупный диск — увеличение растёт в \(a/(a-f)\) раз. Ньютон: \(x=a-f\), \(x'=f^2/x\), \(a'=f+x'=af/(a-f)\).
Числа. Предмет в \(a=10f\): множитель \(10/9\approx1{,}11\) — почти как на бесконечности. В \(a=5f\): уже \(5/4=1{,}25\). В \(a=2f\): удваивается. При \(a\to\infty\) множитель \(\to1\). При \(a\to f+\) образ уходит на бесконечность за объектив, труба «не умеет» смотреть так близко: окуляр некуда ставить. Два луча от краёв объекта через центр объектива пересекаются в плоскости \(a'\), не в \(F\).