Согласно нормам освещённость рабочего места для тонких работ должна быть не менее 100 лк. На какой максимальной высоте от рабочего места должна быть помещена лампа, сила света которой 100 кд?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Непосредственно под лампой расстояние равно высоте, лучи падают по нормали:
\[ E=\frac I{h^2}=100\ \text{лк},\qquad I=100\ \text{кд}, \] \[ h^2=\frac{100}{100}=1,\qquad h=1\ \text{м}. \]Выше — норма уже не выполняется. Сбоку от «под лампой» ещё хуже: и расстояние больше, и \(\cos\theta<1\).
Определение люкса: 1 лк = 1 кд/м² на нормальную площадку. Поэтому \(E=I/h^2\) пишется без коэффициентов. Норма «не менее 100 лк» при \(I=100\) кд даёт \(h\le1\) м. Чуть в стороне \(E=I\cos^3\theta/h^2\) уже меньше: край стола не дотягивает до нормы, если лампу повесить ровно на пределе.
Почему именно квадрат высоты, а не, скажем, \(h\) или \(h^3\)? Изотропная лампа силы \(I=100\) кд гонит световой поток \(4\pi I\) на полную сферу. На расстоянии \(h\) эта сфера имеет площадь \(4\pi h^2\), и на каждый квадратный метр приходится \(I/h^2\) люмен — ровно определение освещённости. Норма \(E=100\) лк при \(I=100\) кд ставит нас на сферу радиуса 1 м: выше — поток «размазывается» сильнее, чем позволяет норма.
Числовой ориентир со школьной настольной лампой. Обычная лампа накаливания 60 Вт даёт около 700 лм, то есть среднюю силу света \(I\sim700/(4\pi)\approx55\) кд. Чтобы на тетради было те же 100 лк, её надо повесить не выше \(\sqrt{55/100}\approx0{,}74\) м — как раз высота нормального абажура. Если ту же сотню кандел поднять на 2 м, под ней останется всего 25 лк: читать можно, чертить тонкие линии — уже нет. Предел \(I\to0\) очевидно требует \(h\to0\): тусклый источник годится, только если его ткнуть носом в тетрадь.