Освещённость плоской поверхности в точке, ближайшей к точечному источнику света, 200 лк. Какова освещённость в точках, где угол падения луча к нормали поверхности \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Точечный источник на высоте \(h\). В точке с углом падения \(\theta\)
\[ r=\frac h{\cos\theta},\qquad E=\frac{I\cos\theta}{r^2}=\frac{I\cos^3\theta}{h^2}=E_0\cos^3\theta. \]\(\cos30^\circ=\sqrt3/2\), \(\cos^3 30^\circ=3\sqrt3/8\approx0{,}650\), \(E_1=130\) лк.
\(\cos45^\circ=1/\sqrt2\), \(\cos^3 45^\circ=\sqrt2/4\approx0{,}354\), \(E_2=71\) лк.
\(\cos60^\circ=1/2\), \(\cos^3 60^\circ=1/8\), \(E_3=25\) лк.
Куб косинуса собирается из двух разных мест, и их полезно не сваливать в одну кучу. Расстояние до точки с углом \(\theta\) есть \(r=h/\cos\theta\), поэтому закон \(1/r^2\) уже даёт \(\cos^2\theta\). Плюс закон Ламберта: та же порция лучей падает на площадку, «растянутую» в \(1/\cos\theta\) раз, и ещё один \(\cos\theta\) приходит от проекции. Вместе \(E=E_0\cos^3\theta\). При \(E_0=200\) лк и \(\theta=60^\circ\) остаётся ровно восьмушка — 25 лк, как у ночника.
Оценим письменный стол. Лампа висит в 60 см над серединой, край стола в 60 см в сторону: \(\theta=45^\circ\), и там \(E\approx71\) лк против 200 лк под лампой. На \(30^\circ\) ещё терпимо (130 лк), на \(60^\circ\) уже «пещера». Предел \(\theta\to0\) возвращает все 200 лк; при \(\theta\to90^\circ\) косинус в кубе убивает свет быстрее любой экспоненты — скользящий луч почти не освещает, только рисует длинные тени.