Жука фотографируют в двух масштабах, поднося аппарат на расстояние, равное сначала тройному, а затем пятикратному фокусному расстоянию объектива. Как нужно изменить диаметр диафрагмы объектива, чтобы освещённость изображения на плёнке в обоих случаях была одинаковой? Диаметр диафрагмы в обоих случаях много меньше расстояния до жука.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
При \(d=3f\): \(1/(3f)+1/v=1/f\), \(v_1=3f/2\).
При \(d=5f\): \(v_2=5f/4\).
Одинаковая \(E\) значит \(D/v=\mathrm{const}\),
\[ \frac{d_2}{d_1}=\frac{v_2}{v_1}=\frac{5f/4}{3f/2}=\frac56. \]Во втором случае диафрагму надо чуть прикрыть: образ ближе к линзе, тот же зрачок светит «жарче».
Освещённость изображения \(E\propto (d/b)^2\), \(b=af/(a-f)\). При \(a=3f\) имеем \(b=1{,}5f\); при \(a=5f\) имеем \(b=1{,}25f\). Чтобы \(E\) совпали, \(d_2/d_1=b_2/b_1=5/6\).
Освещённость кадра протяжённого жука определяется тем, под каким углом из образа видна диафрагма: \(E\propto(d/v)^2\). Формула тонкой линзы при \(a=3f\) даёт \(v_1=3f/2\), при \(a=5f\) — \(v_2=5f/4\). Чтобы \(E\) совпали, отношение диаметров должно повторить отношение \(v\): \(d_2/d_1=5/6\). Во втором кадре аппарат дальше, увеличение меньше (\(m_2=1/4\) против \(m_1=1/2\)), образ сидит ближе к линзе и при той же дырке был бы ярче — поэтому диафрагму чуть прикрываем.
Та же история на языке относительного отверстия. \(E\propto\bigl(d/f\bigr)^2/(1+m)^2\), и \((1+m_2)/(1+m_1)=(5/4)/(3/2)=5/6\). Макрофотографы знают обратное: чем крупнее план, тем больше надо открывать дырку (или удлинять выдержку). У нас второй план мельче, дырку закрываем. Число: если в первом кадре стояло \(d_1=30\) мм, во втором нужно 25 мм. Предел обоих съёмок «с бесконечности» (\(a\to\infty\), \(v\to f\)) вернул бы \(d_2=d_1\).