Интенсивность света маяка на расстоянии \(L\) уменьшилась из-за тумана на 10 %. Радиус капель тумана \(r\). Оцените количество капель тумана в единице объёма воздуха.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
\(I/I_0=0{,}90=e^{-n\pi r^2 L}\). Для малых потерь \(-\ln0{,}90\approx0{,}105\approx0{,}1\), поэтому
\[ n\pi r^2 L\approx0{,}1,\qquad n\approx\frac1{10\pi r^2 L}. \]Каждая капля сечением \(\pi r^2\) выбивает из пучка долю площади. На длине \(L\) оптическая толщина \(\tau=n\pi r^2 L\). Ослабление на 10 % значит \(e^{-\tau}\approx0{,}90\), \(\tau\approx0{,}1\), откуда \(n\approx(10\pi r^2 L)^{-1}\).
Капля радиуса \(r\) для видимого света — чёрный диск: параметр дифракции \(2\pi r/\lambda\gg1\), сечение \(\sigma\sim\pi r^2\). Закон Бугера \(I=I_0 e^{-n\sigma L}\) на дистанции \(L\) до маяка даёт \(0{,}90=e^{-n\pi r^2 L}\). Логарифм \(-\ln0{,}90\approx0{,}105\), с хорошей точностью 0,1, и \(n\approx1/(10\pi r^2 L)\). Оптическая толща \(\tau\approx0{,}1\) — это ещё не «не видно маяка», а лёгкая дымка: средняя длина пробега \(1/(n\sigma)\approx10L\).
Капля 10 мкм, маяк в километре: \(n\sim1/(10\pi\cdot10^{-10}\cdot10^3)\sim3\cdot10^5\) м−3 — сотни капель в литре, типичный очень лёгкий туман. Формула Кошмидера для метеорологической дальности видимости \(V\sim3{,}9/(n\sigma)\) при наших 10 % на \(L\) как раз даёт \(V\sim40L\): «чуть дымка», не мгла. Предел \(r\to0\) ломает модель: когда капля много меньше \(\lambda\), сечение становится релеевским \(\propto r^6/\lambda^4\), и ответ \(1/r^2\) больше не работает.