В дымовой завесе из непрозрачных частиц радиуса 5 мкм при содержании 0,004 г вещества в 1 м³ воздуха видимость составляет 50 м. Сколько вещества в 1 м³ воздуха распыляется источником завесы, создающим частицы радиуса 10 мкм, если видимость при этом сокращается до 20 м?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Оптическая толща \(n\pi r^2 L_\text{вид}\approx\mathrm{const}\) (одна и та же «едва видно»). Число частиц \(n=\rho/(\frac43\pi r^3\gamma)\), откуда
\[ \frac{\rho L_\text{вид}}r=\mathrm{const}. \] \[ \rho_2=\rho_1\cdot\frac{r_2}{r_1}\cdot\frac{L_1}{L_2}=0{,}004\cdot\frac{10}{5}\cdot\frac{50}{20}=0{,}02\ \frac{\text{г}}{\text{м}^3}. \]В книге стоит 0,2 г/м³ — лишний порядок, скорее опечатка: отношение радиусов 2 и видимостей 2,5 даёт множитель 5, \(0{,}004\cdot5=0{,}02\).
Видимость \(L_\text{вид}\) — длина, на которой \(n\cdot\pi r^2 L\) порядка единицы (одна и та же «едва видно»). Масса в кубометре \(\rho=n\cdot\frac43\pi r^3\gamma\), поэтому \(\rho\propto r/L_\text{вид}\): крупнее частица — больше массы на ту же тень, короче видимость — ещё больше массы. От первого замера (\(r=5\) мкм, \(L=50\) м, \(\rho=0{,}004\) г/м³) ко второму (\(r=10\) мкм, \(L=20\) м) множитель \(2\cdot2{,}5=5\), и \(\rho_2=0{,}02\) г/м³. В книге 0,2 — лишний порядок, опечатка: отношение радиусов 2 и видимостей 2,5 дают пять, не пятьдесят.
Почему крупный дым «менее выгодный» завесчик? Площадь перекрытия \(\propto r^2\), масса \(\propto r^3\), грамм крупной сажи кидает меньше тени. Чтобы ещё и видимость урезать с 50 до 20 м, массы нужно в 2,5 раза больше — итого \(\times5\). 20 мг на куб — густой дым, в нём и правда ничего не видно на 20 метрах. Предел \(r\to0\) при фиксированной \(\rho\) улучшает завесу (больше площади на грамм), пока не упрёмся в Рэлей.