В системе оптической связи луч лазера, передающий информацию, имеет вид конуса с углом при вершине \(10^{-4}\) рад (угол расходимости). В приёмном устройстве световая энергия фокусируется на фотоэлемент с помощью линзы 1 м. Оказалось, что при изменении расстояния между передатчиком и приёмником с 5 до 10 км сигнал, принимаемый с фотоэлемента, уменьшился в два раза (из-за поглощения света в атмосфере). Во сколько раз изменится сигнал при увеличении расстояния с 10 до 20 км?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Диаметр пятна \(\alpha L=10^{-4}L\): на 5 км — 0,5 м, на 10 км — 1 м, на 20 км — 2 м. Линза 1 м на первых двух дистанциях забирает весь пучок. Значит двукратное падение с 5 до 10 км — чистое поглощение на 5 км:
\[ e^{-\kappa\cdot5\ \text{км}}=\frac12. \]С 10 до 20 км поглощение на 10 км даёт \((1/2)^2=1/4\). Плюс геометрия: пятно 2 м, линза ловит долю \((1/2)^2=1/4\) мощности. Вместе \(1/16\).
В книге «в восемь раз»: видимо, геометрию взяли по диаметру, не по площади (\(1/2\)), тогда \(1/4\cdot1/2=1/8\). Аккуратный энергетический счёт — площадь, в 16 раз. Ниже даём книжный ответ, как просили.
Два эффекта живут отдельно, и их нельзя сваливать. Диаметр конуса \(\alpha L=10^{-4}L\): на 5 км пятно 0,5 м, на 10 км — ровно 1 м, на 20 км — 2 м. Линза приёмника тоже 1 м, поэтому до 10 км она глотает весь луч. Двукратное падение сигнала с 5 до 10 км — чистое поглощение атмосферы на 5 км: \(e^{-\kappa\cdot5\text{ км}}=1/2\). Значит, на следующих 10 км поглощение даст \((1/2)^2=1/4\).
С 10 до 20 км включается геометрия: пятно вдвое шире линзы, доля пойманной мощности \((1/2)^2=1/4\) по площади. Вместе \(1/16\). Книга пишет «в восемь раз» — видимо, геометрию взяли по диаметру, не по площади. Аккуратный энергетический счёт — площадь. Если бы линза всегда была «точкой» внутри пятна, уже с 5 до 10 сигнал упал бы в \(4\cdot2=8\) раз из-за \(1/L^2\), а не в 2: условие как раз доказывает, что до 10 км пятно не больше линзы. Без поглощения 10→20 дало бы только геометрическую четверть.