Чувствительность фотоплёнки настолько велика, что каждый фотон вызывает на ней появление чёрного пятна. Три фотографии квадрата получены на длине волны \(5\cdot10^{-5}\) см. Размеры изображения \(10\times10\) см. Оцените, пользуясь формулой Планка \(\varepsilon=h\nu\) (\(h=6{,}62\cdot10^{-27}\) эрг·с — постоянная Планка), освещённость фотопластинки в каждом случае. Время срабатывания затвора фотоаппарата \(10^{-9}\) с.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Длина волны \(\lambda=5\cdot10^{-5}\) см, частота \(\nu=c/\lambda=3\cdot10^{10}/5\cdot10^{-5}=6\cdot10^{14}\) Гц. Энергия фотона
\[ \varepsilon=h\nu=6{,}62\cdot10^{-27}\cdot6\cdot10^{14}=4\cdot10^{-12}\ \text{эрг}=4\cdot10^{-19}\ \text{Дж}. \]Площадь кадра \(A=100\) см² \(=10^{-2}\) м², выдержка \(t=10^{-9}\) с. Если на снимке \(N\) пятен,
\[ E=\frac{N\varepsilon}{At}=\frac{N\cdot4\cdot10^{-19}}{10^{-2}\cdot10^{-9}}=4\cdot10^{-8}\,N\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2}. \]По рисункам в задачнике (и по типичной «зернистой» шкале) на первом кадре порядка двух десятков точек, на втором — сотни, на третьем — около тысячи:
\[ N_1\sim25,\quad E_1\sim10^{-6}\ \text{Вт/м}^2; \] \[ N_2\sim100,\quad E_2\sim4\cdot10^{-6}\ \text{Вт/м}^2; \] \[ N_3\sim10^3,\quad E_3\sim4\cdot10^{-5}\ \text{Вт/м}^2. \]Соберём энергию фотона ещё раз через \(hc/\lambda\), без промежуточной частоты. \(\lambda=5\cdot10^{-5}\) см \(=500\) нм — зелёный свет, \(hc\approx1240\) эВ·нм, \(\varepsilon=2{,}48\) эВ \(=4\cdot10^{-19}\) Дж, как и через \(h\nu\). Кадр \(10\times10\) см за выдержку \(t=10^{-9}\) с при \(N\) пятнах даёт освещённость \(E=N\varepsilon/(At)=4\cdot10^{-8}\,N\) Вт/м². Двадцать пять зёрен — микроватт на квадратный метр: глазу это тьма, плёнке в задаче — уже картинка, потому что «каждый фотон оставляет пятно».
Почему выдержка такая короткая? Если бы затвор стоял \(10^{-2}\) с, как у обычного фотоаппарата, те же 25 фотонов размазались бы по времени в \(10^7\) раз, и \(E\) упала бы до \(10^{-13}\) Вт/м² — ещё абсурднее как «освещённость сцены», но число зёрен на кадре не изменилось бы. Квантовая природа здесь буквальна: изображение собирается по штукам. Глазу, чтобы «увидеть» вспышку, нужно порядка сотни фотонов на палочку; весь первый кадр как раз этого порядка.