Точечный источник силы света \(I\) расположен на высоте \(h\) над горизонтальной поверхностью. Над источником находится плоское зеркало, параллельное поверхности. Как зависит освещённость поверхности непосредственно под источником от расстояния \(x\) между зеркалом и источником?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Прямой свет: \(E_1=I/h^2\). Изображение в плоском зеркале — на \(x\) выше зеркала, то есть на \(h+2x\) над полом. Лучи от изображения тоже идут вертикально вниз:
\[ E_2=\frac I{(h+2x)^2}. \] \[ E=I\left(\frac1{h^2}+\frac1{(h+2x)^2}\right)=I\,\frac{h^2+(h+2x)^2}{h^2(h+2x)^2}. \]Источник \(S\) на высоте \(h\), зеркало на \(x\) над лампой. Изображение \(S'\) лежит на высоте \(h+2x\). Под лампой складываются два вклада:
\[ E=\frac{I}{h^2}+\frac{I}{(h+2x)^2}=I\frac{h^2+(h+2x)^2}{h^2(h+2x)^2}. \]При \(x=0\) зеркало лежит на лампе — \(E=2I/h^2\). При \(x\to\infty\) изображение уходит, остаётся \(I/h^2\).
Физическая картинка простая, как два фонаря на одной вертикали. Настоящий \(S\) сидит на высоте \(h\) и светит вниз \(I/h^2\). Плоское зеркало на высоте \(x\) над ним порождает изображение на высоте \(h+2x\) — как лампочку, повешенную за потолком. Под источником оба луча идут по нормали, косинусов нет, остаётся сумма квадратов расстояний. Отсюда и числитель \(h^2+(h+2x)^2\): это просто \(r_1^2+r_2^2\) в общем знаменателе.
Полезно спросить: на сколько близко к лампе жать зеркало, чтобы добавка была хотя бы половиной прямого света? Нужно \(h+2x=h\sqrt2\), то есть \(x=h(\sqrt2-1)/2\approx0{,}21h\). Если \(h=2\) м, зеркало — в 40 см над лампой. Уже при \(x=h\) выигрыш всего \(1/9\approx11\%\): изображение уехало на \(3h\), и \(1/(3h)^2\) мало. Производная \(dE/dx=-4I/(h+2x)^3<0\) всегда — поднимать зеркало бессмысленно, только прижимать.