Экран освещается параллельным пучком света. Как изменится освещённость экрана, если на пути лучей поставить призму с углом \(\alpha\) и стороной \(AB\), параллельной экрану? Нарисуйте график изменения освещённости вдоль экрана.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сторона \(AB\) параллельна экрану, так что вышедший из \(AB\) пучок бьёт в экран под углом \(\delta\) к нормали. Освещённость площадки
\[ E=E_0\cos\delta\approx E_0\cos\bigl((n-1)\alpha\bigr). \]Вдоль экрана картина такая. Слева и справа от «тени призмы» — исходная \(E_0\). В геометрической тени, куда преломлённый пучок не попал, \(E=0\). В полосе, куда сел преломлённый пучок, плато \(E_0\cos\delta\). На границах полосы — узкие всплески или провалы из-за дифракции на рёбрах; в геометрической оптике их нет.
Если \(\delta\) мало, \(\cos\delta\approx1\), и единственный видимый эффект — сдвиг светлой полосы и появление тени ширины порядка основания призмы.
Почему в полосе «зайчика» стоит именно \(\cos\delta\), а не, скажем, \(1/\cos\delta\)? Параллельный пучок несёт тот же поток \(\Phi\) на ту же ширину пучка. После клина он бьёт в экран под углом \(\delta=(n-1)\alpha\) к нормали, и тот же \(\Phi\) размазывается по площадке, растянутой в \(1/\cos\delta\). Освещённость — поток на площадь — падает как \(\cos\delta\). Для стекла \(n\approx1{,}5\) и призмы \(\alpha=10^\circ\approx0{,}17\) рад получим \(\delta\approx5^\circ\), \(\cos\delta\approx0{,}996\): глазом не отличишь от \(E_0\). Весь видимый эффект — тень ширины основания \(AB\) и сдвиг светлой полосы.
Предел \(\alpha\to0\): клина нет, \(\delta=0\), график вдоль экрана — ровная полка \(E_0\). При большом \(\alpha\) пучок уходит почти вдоль экрана, \(\cos\delta\to0\), «зайчик» тускнеет, а тень остаётся чёрной. Энергия никуда не делась: интеграл \(E\,dx\) по всему экрану равен потоку, упавшему на призму, плюс тому, что прошёл мимо неё. Дифракция на рёбрах размажет границы на \(\sim\lambda L/a\), но в геометрической оптике этих гребешков нет.