Оцените, во сколько раз освещённость одной и той же поверхности в лунную ночь в полнолуние меньше, чем в солнечный день? Высота Луны и Солнца над горизонтом одинакова. Считать, что участки Луны рассеивают весь падающий на них свет во все стороны равномерно. Принять расстояние от Луны до Земли равным 400 000 км, радиус Луны — равным 2000 км.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть \(E_\odot\) — освещённость земной (и лунной) площадки Солнцем. Мощность, падающая на Луну, \(E_\odot\cdot\pi R^2\). «Во все стороны равномерно» для поверхности — в наружную полусферу \(2\pi\), сила света диска
\[ I=\frac{E_\odot\pi R^2}{2\pi}=\frac{E_\odot R^2}2. \]Освещённость Земли полной Луной (Луна в зените, как и Солнце в условии):
\[ E_☽=\frac I{L^2}=\frac{E_\odot R^2}{2L^2}. \] \[ \frac{E_\odot}{E_☽}=\frac{2L^2}{R^2}=\frac{2\cdot(4\cdot10^5)^2}{(2\cdot10^3)^2}=\frac{2\cdot16\cdot10^{10}}{4\cdot10^6}=8\cdot10^4. \]В 80 000 раз.
Другой путь к тем же \(8\cdot10^4\). Солнечная освещённость Луны равна нашей дневной \(E_\odot\). Диск Луны перехватывает поток \(E_\odot\pi R^2\) и, по условию, отдаёт его в наружную полусферу. Сила света «лунной лампы» \(I=E_\odot R^2/2\). С Земли, \(L=4\cdot10^5\) км, при Луне в зените \(E_☽=I/L^2=E_\odot R^2/(2L^2)\). Подстановка \(R=2\cdot10^3\) км даёт \(2L^2/R^2=2\cdot(200)^2=8\cdot10^4\). Телесный угол лунного диска \(\pi R^2/L^2=\pi/4\cdot10^4\) — вот та малая доля неба, которой светит полная Луна.
Реальное отношение ближе к \(4\cdot10^5\), потому что альбедо Луны \(\approx0{,}12\), а не единица, и диск не идеальный ламбертов рассеиватель. Если бы мы зря отправили свет в полную сферу \(4\pi\), вышло бы 160 000 — того же порядка. Предел \(L\to\infty\) гасит лунную ночь как \(1/L^2\); при \(R\to0\) Луна перестаёт быть экраном. Серп вместо полнолуния умножает ответ на долю освещённой площади: в четверть Луны ночь темнее ещё в несколько раз.