Пучок света интенсивности \(I\) падает на плоскопараллельную пластину по нормали к её поверхности. Пренебрегая поглощением и считая, что коэффициент отражения света на каждой из поверхностей пластины в любую сторону равен \(k\), определите интенсивность пучка, прошедшего сквозь неё.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Прямой проход: \(I(1-k)^2\). Один полный цикл двух отражений внутри и снова выход: ещё \(I(1-k)^2 k^2\). Два цикла — \(k^4\), и так далее:
\[ I'=I(1-k)^2\bigl(1+k^2+k^4+\dots\bigr)=I\frac{(1-k)^2}{1-k^2}=I\frac{(1-k)^2}{(1-k)(1+k)}=I\frac{1-k}{1+k}. \]Пучок \(I\) на первой грани: отражается \(kI\), проходит \((1-k)I\). Сумма вышедшего вперёд — геометрическая прогрессия со знаменателем \(k^2\):
\[ I'=(1-k)^2 I\,(1+k^2+k^4+\cdots)=I\frac{(1-k)^2}{1-k^2}=I\frac{1-k}{1+k}. \]Сумма прошедшего — ещё не всё. Можно так же сложить всё, что ушло назад, и проверить энергию. Первое отражение от передней грани даёт \(kI\). Дальше из пластины наружу (назад) выходит ещё \((1-k)^2 k I(1+k^2+\cdots)=k(1-k)I/(1+k)\). Итого отражённое \(I_r=I\cdot 2k/(1+k)\). Складываем с прошедшим \(I'=I(1-k)/(1+k)\): \(I'+I_r=I\). Поглощения нет, счёт сошёлся. Формула \((1-k)/(1+k)\) потому и выглядит «дробью из отражения», что прошедшее и отражённое делят единицу в отношении \((1-k):2k\).
Для оконного стекла \(k\approx0{,}04\), тогда \(I'\approx0{,}923\,I\) и назад уходит 7,7 %. Две такие пластины (двойной стеклопакет без просветления) умножают на \([(1-k)/(1+k)]^2\approx0{,}85\): уже заметная потеря. Предел \(k\to0\) — пластины как будто нет, \(I'=I\). Предел \(k\to1\) — обе грани зеркала, внутрь ничего не заходит, \(I'\to0\). Если бы поглощение внутри было \(\alpha\) на проход, в знаменателе прогрессии вместо \(k^2\) стояло бы \(k^2 e^{-2\alpha}\), и красивое сокращение \((1-k)\) сломалось бы.