Искусственный спутник Земли радиуса 1 м, освещённый Солнцем, виден с расстояния 300 км как рядовая звезда. Оцените расстояние до такой звезды.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Освещённость спутника Солнцем — та же \(E_\odot\), что у нас. Рассеянная мощность \(\sim E_\odot\pi R^2\), освещённость Земли с 300 км
\[ E_\text{сп}\sim\frac{E_\odot R^2}{L^2},\qquad L=3\cdot10^5\ \text{м},\ R=1\ \text{м}. \]Солнцеподобная звезда на расстоянии \(x\): \(E_*=E_\odot(R_\odot/x)^2\), удобнее через а.е.: \(E_*=E_\odot(\mathrm{а.е.}/x)^2\). Но проще сравнить с тем, что \(E_\odot=L_\odot/(4\pi\,\mathrm{а.е.}^2)\), и спутник даёт
\[ E_\text{сп}\sim E_\odot\frac{R^2}{2L^2}. \]Равенство \(E_\text{сп}=E_*\):
\[ \frac{R^2}{2L^2}\sim\left(\frac{\mathrm{а.е.}}{x}\right)^2,\qquad \frac x{\mathrm{а.е.}}\sim\frac{L\sqrt2}R\sim4\cdot10^5. \]\(\mathrm{а.е.}=1{,}5\cdot10^{11}\) м, \(x\sim6\cdot10^{16}\) м \(\sim5\)–7 световых лет. Оценка книги: \(\sim5\) св. лет.
Соберём те же 5 световых лет из ватт, без астрономических единиц. Солнечная постоянная \(\approx1{,}4\) кВт/м², спутник радиуса 1 м перехватывает \(\sim1{,}4\cdot10^3\cdot\pi\approx4{,}4\) кВт. Рассеивая в полусферу, он даёт силу света \(\sim4{,}4\cdot10^3/(2\pi)\approx700\) Вт/ср. С \(L=300\) км \(=3\cdot10^5\) м освещённость у глаза \(E_\text{сп}\sim700/(3\cdot10^5)^2\approx8\cdot10^{-9}\) Вт/м². Солнцеподобная звезда светимости \(3{,}8\cdot10^{26}\) Вт на расстоянии \(x\) даёт \(E_*=3{,}8\cdot10^{26}/(4\pi x^2)\). Равенство даёт \(x\sim6\cdot10^{16}\) м \(\approx6{,}5\) св. лет — как в ответе.
Почему «рядовая» звезда, а не Сириус? Сириус в 20 раз ярче Солнца, и расстояние выросло бы в \(\sqrt{20}\approx4{,}5\) раза, до 25 св. лет. Предел \(R\to0\): спутник гаснет как \(R^2\), с 10 см его уже не спутаешь со звездой. Обратно, модуль МКС метров десять — в сто раз по площади, и он действительно спорит с Венерой. Расстояние 300 км выбрано не случайно: низкая орбита, спутник ещё не точка для бинокля, но для глаза уже точка.