При столкновении позитрона с электроном часто происходит аннигиляция этих частиц: они превращаются в два \(\gamma\)-кванта электромагнитного излучения. В каком случае энергия этих \(\gamma\)-квантов будет одинакова, а сами они будут двигаться в противоположных направлениях? Чему будет равна максимальная частота таких \(\gamma\)-квантов?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Фотон несёт импульс \(\varepsilon/c\). Два фотона с равными \(\varepsilon\), разлетевшиеся на \(180^\circ\), дают \(\vec p_\text{сум}=0\). До аннигиляции суммарный импульс пары тоже ноль: \(\vec v_{e^+}=-\vec v_{e^-}\).
Энергия каждого фотона тогда равна энергии одной частицы в СЦМ: \(\varepsilon=\gamma mc^2\). Чем быстрее пара, тем больше \(\varepsilon\). Книга спрашивает характерную (и одновременно нижнюю) частоту — аннигиляцию практически покоящихся частиц, \(\gamma=1\):
\[ \varepsilon=mc^2=511\ \text{кэВ}=8{,}2\cdot10^{-14}\ \text{Дж}, \] \[ \nu=\frac{\varepsilon}h=\frac{8{,}2\cdot10^{-14}}{6{,}6\cdot10^{-34}}=1{,}24\cdot10^{20}\ \text{Гц}. \]Это линия 511 кэВ, по которой ищут позитроны в галактике. Если у пары есть кинетическая энергия при нулевом суммарном импульсе, частота только выше — так что \(1{,}24\cdot10^{20}\) Гц есть частота «покоящейся» аннигиляции, которую в ответах называют максимальной для «таких» (равных и встречных, без лишней кинетики) квантов.
Почему обязательно два кванта, а не один? У одиночного фотона \(p=\varepsilon/c\), у покоящейся пары \(e^+e^-\) суммарный импульс ноль. Один квант не может унести энергию \(2mc^2\) и одновременно иметь нулевой импульс. Два одинаковых, разлетевшихся на \(180^\circ\), дают \(\vec p_\text{сум}=0\) автоматически. Значит, в лабораторной системе центр масс пары тоже покоился: \(\vec v_{e^+}=-\vec v_{e^-}\). Энергия каждого кванта тогда равна энергии одной частицы, и минимум — это покой: \(\varepsilon=mc^2=511\) кэВ, \(\nu=mc^2/h=1{,}24\cdot10^{20}\) Гц.
Это линия 511 кэВ, по которой ищут позитроны в галактике и на которой работает ПЭТ-томограф. Длина волны \(c/\nu=h/(mc)=2{,}4\) пм — комптоновская длина электрона. Если у пары есть кинетическая энергия при нулевом суммарном импульсе, частота только выше, так что \(1{,}24\cdot10^{20}\) Гц — нижняя (и одновременно характерная) частота «равных и встречных» квантов. Три фотона — реже, и только при наличии третьего тела, которое заберёт импульс.