а. При распаде \(\pi\)-мезона образовалось два фотона с энергией \(\varepsilon_1\) и \(\varepsilon_2\), которые летят в противоположных направлениях. Определите скорость распавшегося мезона. Связь между энергией и импульсом для фотона имеет вид \(\varepsilon=pc\), где \(c\) — скорость света.
б. При распаде нейтральной частицы обнаружено два фотона, летящих под углами \(\theta_1\) и \(\theta_2\) к направлению движения частицы. Определите скорость распавшейся частицы.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Фотоны на одной прямой в разные стороны. Импульс мезона \(p=(\varepsilon_1-\varepsilon_2)/c\) (в сторону более энергичного), энергия \(E=\varepsilon_1+\varepsilon_2\). Тогда
\[ v=\frac{pc^2}E=c\,\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}. \]б. Поперечные импульсы равны: \(\varepsilon_1\sin\theta_1=\varepsilon_2\sin\theta_2\). Продольный импульс \(p=(\varepsilon_1\cos\theta_1+\varepsilon_2\cos\theta_2)/c\), \(E=\varepsilon_1+\varepsilon_2\). Исключая \(\varepsilon_{1,2}\):
\[ v=c\,\frac{\varepsilon_1\cos\theta_1+\varepsilon_2\cos\theta_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}=c\,\frac{\sin\theta_2\cos\theta_1+\sin\theta_1\cos\theta_2}{\sin\theta_1+\sin\theta_2}=c\,\frac{\sin(\theta_1+\theta_2)}{\sin\theta_1+\sin\theta_2}. \]Скорость любой частицы есть \(v=pc^2/E\). У распавшегося мезона импульс и энергия целиком сидят в двух фотонах. В пункте «а» они на одной прямой врозь, поэтому \(p=(\varepsilon_1-\varepsilon_2)/c\) в сторону более энергичного, \(E=\varepsilon_1+\varepsilon_2\), и \(v=c(\varepsilon_1-\varepsilon_2)/(\varepsilon_1+\varepsilon_2)\). Если \(\varepsilon_1=\varepsilon_2\), мезон покоился. Если \(\varepsilon_2\to0\), \(v\to c\): почти вся энергия улетела вперёд, это ультрарелятивистский распад.
В пункте «б» поперечные импульсы сокращаются, \(\varepsilon_1\sin\theta_1=\varepsilon_2\sin\theta_2\), и после исключения энергий остаётся \(v=c\sin(\theta_1+\theta_2)/(\sin\theta_1+\sin\theta_2)\). Симметричная вилка \(\theta_1=\theta_2=\theta\) даёт \(v=c\cos\theta\): чем острее угол разлёта, тем быстрее летела частица. Предел \(\theta\to90^\circ\) возвращает покой. Нейтральный пион, \(m_{\pi^0}c^2=135\) МэВ, в своей системе испускает два кванта по 67,5 МэВ; вся асимметрия \(\varepsilon_1\neq\varepsilon_2\) в лаборатории — это чистый буст.