а. \(\gamma\)-Квант электромагнитного излучения частоты \(\nu\), столкнувшись с неподвижной частицей, начал двигаться под углом \(\theta\) к первоначальному направлению. При этом частота кванта уменьшилась на \(\Delta\nu\ll\nu\). Определите массу этой частицы.
б. Фотон частоты \(\nu\), столкнувшись с неподвижным электроном, начинает двигаться под углом \(\theta\) к первоначальному направлению. Определите изменение частоты фотона, если \(h\nu\ll m_ec^2\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. \(\lambda'-\lambda=(h/(mc))(1-\cos\theta)\). Слева \(\Delta\lambda\approx c\Delta\nu/\nu^2\) (частота упала, длина волны выросла):
\[ \frac{c\Delta\nu}{\nu^2}=\frac h{mc}(1-\cos\theta)\qquad\Longrightarrow\qquad m=\frac{h\nu^2(1-\cos\theta)}{c^2\Delta\nu}. \]б. Для электрона то же с \(m_e\). Условие \(h\nu\ll m_ec^2\) как раз и есть \(\Delta\nu\ll\nu\) (сдвиг мал). Тогда
\[ \Delta\nu=\frac{h\nu^2}{m_ec^2}(1-\cos\theta). \]В книге набрано \(\nu'\) вместо \(\nu^2\) — опечатка набора.
Формула Комптона живёт в длинах волн, \(\Delta\lambda=(h/mc)(1-\cos\theta)\), потому что именно \(\lambda\) сдвигается на константу, не зависящую от исходной энергии. Частота связана \(\lambda=c/\nu\), и при малом сдвиге \(d\lambda=-c\,d\nu/\nu^2\). Частота упала на \(\Delta\nu\), длина волны выросла на \(c\Delta\nu/\nu^2\). Приравнивая, получаем массу мишени \(m=h\nu^2(1-\cos\theta)/(c^2\Delta\nu)\). Чем тяжелее частица, тем меньше она отбирает у кванта, тем крошечнее \(\Delta\nu\) — тяжёлое ядро почти не отдаёт отдачи.
Пункт «б» — тот же Комптон на электроне при \(h\nu\ll m_ec^2=511\) кэВ. Тогда \(\Delta\nu\ll\nu\) автоматически, и \(\Delta\nu=(h\nu^2/m_ec^2)(1-\cos\theta)\). В книге набрано \(\nu'\) вместо \(\nu^2\) — опечатка. При \(\theta=0\) сдвига нет: фотон «не задел». При \(\theta=180^\circ\) множитель максимален и равен 2. Для видимого света \(\lambda\sim5000\) Å комптоновская длина электрона 0,024 Å даёт \(\Delta\lambda/\lambda\sim10^{-5}\): частота почти не меняется, как и требует \(h\nu\ll mc^2\).