Атомы, летящие со скоростью \(v\), испускают в направлении своего движения фотоны с частотой \(\nu\). Какова частота фотонов, испускаемых в направлении: а) противоположном направлению движения атомов; б) перпендикулярном направлению движения атомов? Импульс фотона много меньше импульса атома.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Вперёд (данная частота \(\nu\)):
\[ \frac{mv^2}2=\frac{m(v-\Delta v)^2}2+h\nu+\varepsilon,\qquad mv=m(v-\Delta v)+\frac{h\nu}c. \]Из импульса \(\Delta v=h\nu/(mc)\). Подставляем в энергию (без \((\Delta v)^2\)):
\[ \varepsilon=-h\nu\bigl(1-v/c\bigr). \]Назад (искомая \(\nu'\)):
\[ \frac{mv^2}2=\frac{m(v+\Delta'v)^2}2+h\nu'+\varepsilon,\qquad mv=m(v+\Delta'v)-\frac{h\nu'}c. \]Аналогично \(\varepsilon=-h\nu'(1+v/c)\). Приравниваем два выражения для \(\varepsilon\):
\[ \nu'=\nu\,\frac{1-v/c}{1+v/c}. \]б. Поперечный фотон не меняет продольный импульс; изменение кинетики — второго порядка малости. Тогда \(\varepsilon+h\nu_\perp=0\), и с \(\varepsilon\) из «вперёд»
\[ \nu_\perp=\nu\bigl(1-v/c\bigr). \]Один и тот же внутренний дефект \(\varepsilon\) кормит все три частоты, а разница — в механике отдачи. Выстрел вперёд тормозит атом на \(\Delta v=h\nu/(mc)\): фотон уносит импульс по скорости, кинетика падает, и на долю \(h\nu\) остаётся больше — отсюда \(\varepsilon=-h\nu(1-v/c)\). Выстрел назад, наоборот, разгоняет атом, кинетика растёт, фотону достаётся меньше, \(\varepsilon=-h\nu'(1+v/c)\). Приравнивая \(\varepsilon\), получаем \(\nu'=\nu(1-v/c)/(1+v/c)\). Поперечный фотон продольный импульс не трогает, квадрат отдачи отбрасываем, и \(\nu_\perp=\nu(1-v/c)\).
Предел \(v=0\): все три частоты сливаются. Иерархия \(\nu>\nu_\perp>\nu'\) — вперёд «синее», назад «красное». Обычный нерелятивистский Доплер из собственной \(\nu_0\) даёт \(\nu=\nu_0(1+v/c)\), \(\nu'=\nu_0(1-v/c)\), \(\nu_\perp=\nu_0\), и оба ответа воспроизводятся в первом порядке по \(v/c\). Релятивистский поперечный множитель \(\sqrt{1-v^2/c^2}\) здесь не виден: мы выкинули \((h\nu)^2/2mc^2\) и \(v^2/c^2\), как и велит условие «импульс фотона много меньше импульса атома».