Определите красное смещение для звезды массы \(M\) и радиуса \(R\), если частота света на поверхности звезды равна \(\nu\). Оцените красное смещение для Солнца в видимой области его излучения. Какие эффекты мешают обнаружить красное смещение в излучении Солнца?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Эквивалентная масса фотона \(h\nu/c^2\), работа против тяготения \(\gamma M/R\):
\[ \Delta\nu=\nu\frac{\gamma M}{Rc^2}. \]Солнце: \(M=2\cdot10^{30}\) кг, \(R=7\cdot10^8\) м, \(\gamma=6{,}7\cdot10^{-11}\), \(c^2=9\cdot10^{16}\):
\[ \frac{\gamma M}{Rc^2}=\frac{6{,}7\cdot10^{-11}\cdot2\cdot10^{30}}{7\cdot10^8\cdot9\cdot10^{16}}\approx2\cdot10^{-6}. \]Видимый свет \(\nu\sim5\cdot10^{14}\) Гц, \(\Delta\nu_\odot\sim10^9\) Гц.
Мешает тепловое движение: при \(T\sim6000\) К у водорода \(v_\text{т}\sim\sqrt{3kT/m}\sim10\) км/с, \(v/c\sim3\cdot10^{-5}\) — на порядок больше гравитационных \(2\cdot10^{-6}\). Плюс конвекция, вращение Солнца, давление в линиях. Выделить гравитационный сдвиг можно, но это уже тонкая спектроскопия.
Та же работа \((h\nu/c^2)\cdot(\gamma M/R)\) для Солнца. Подстановка \(M=2\cdot10^{30}\) кг, \(R=7\cdot10^8\) м даёт \(\gamma M/(Rc^2)\approx2\cdot10^{-6}\). В видимой области \(\nu\sim5\cdot10^{14}\) Гц это \(\Delta\nu_\odot\sim10^9\) Гц — гигагерц на фоне пятисот терагерц, относительная мелочь. Через гравитационный радиус то же число: \(r_g^\odot=3\) км, \(\Delta\nu/\nu=r_g/(2R)=1{,}5/(7\cdot10^5)=2\cdot10^{-6}\).
Почему эффект так долго не ловили на Солнце? Тепловое движение в фотосфере при \(T\sim6000\) К даёт водороду \(v_\text{т}\sim10\) км/с, \(v/c\sim3\cdot10^{-5}\) — на порядок больше гравитационных \(2\cdot10^{-6}\). Плюс грануляция, вращение (экватор 2 км/с) и давление в линиях. Выделить гравитационный сдвиг можно, но это уже тонкая спектроскопия относительно лабораторного эталона. У белого карлика \(R\sim10^{-2}R_\odot\), сдвиг в сто раз больше — его на Сириусе B измерили ещё в 1920-х.