Большие массы вещества во Вселенной могут фокусировать свет от удалённых объектов, образуя «гравитационную линзу». Оцените фокусное расстояние шаровой галактики радиуса \(R\approx20\,000\) пк и массы \(M\approx3\cdot10^{11}M_\odot\) (где \(M_\odot\) — масса Солнца), считая, что масса в галактике распределена равномерно.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Внутри однородного шара \(|\Phi|\sim\gamma M/R\), в центре чуть больше (коэффициент \(3/2\)). С множителем 2 из ОТО
\[ n-1\sim\frac{3\gamma M}{Rc^2}. \]Шар как «стеклянная линза»: \(1/f=2(n-1)/R\),
\[ f\sim\frac{R^2c^2}{6\gamma M}. \]Числа. Гравитационный радиус Солнца \(2\gamma M_\odot/c^2=3\) км, значит \(\gamma M_\odot/c^2=1{,}5\) км. Для галактики \(\gamma M/c^2=3\cdot10^{11}\cdot1{,}5\) км \(=4{,}5\cdot10^{11}\) км. \(R=2\cdot10^4\) пк \(\approx6\cdot10^{17}\) км.
\[ f\sim\frac{(6\cdot10^{17})^2}{6\cdot4{,}5\cdot10^{11}}\ \text{км}\sim10^{23}\ \text{км}\sim10^9\ \text{пк}. \]Гигапарсек — космологический масштаб: такая «линза» фокусирует квазары с другого конца видимой Вселенной, не звёзды соседней галактики.
В слабом поле свет идёт так, будто пространство заполнено средой с показателем \(n=1-2\Phi/c^2\). У однородного шара \(|\Phi|\sim\gamma M/R\), с множителем 2 из ОТО и коэффициентом \(3/2\) в центре получаем \(n-1\sim3\gamma M/(Rc^2)\). Шар как очень слабая стеклянная линза: \(1/f=2(n-1)/R\), откуда \(f\sim R^2 c^2/(6\gamma M)\). Для точечной массы фокуса нет — угол отклонения \(\propto1/b\), разные лучи собираются в разных местах. Однородность как раз и делает «настоящую» линзу.
Числа. Гравитационный радиус Солнца 3 км, \(\gamma M_\odot/c^2=1{,}5\) км. Галактика \(M=3\cdot10^{11}M_\odot\) даёт \(\gamma M/c^2=4{,}5\cdot10^{11}\) км. Радиус \(R=2\cdot10^4\) пк \(\approx6\cdot10^{17}\) км, и \(f\sim10^{23}\) км \(\sim10^9\) пк. Гигапарсек — космологический масштаб: такая линза фокусирует квазары с другого конца видимой Вселенной, не звёзды соседней галактики. Параксиальный проход даёт \(\alpha\sim(4\gamma M/c^2 R^2)b\) и \(f=c^2 R^2/(4\gamma M)\) — шестёрка против четвёрки в оценке не важна.