Во сколько раз изменится разность потенциалов и ёмкость длинного цилиндрического конденсатора при движении его со скоростью \(\beta c\) вдоль оси?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В покое \(E(r)=2\tau/r\) между обкладками, \(U=2\tau\ln(R_2/R_1)\). При сносе вдоль оси линейная плотность \(\tau'=\gamma\tau\) (длина сокращается), радиальное поле \(E'=\gamma E\). Радиусы не сокращаются, поэтому
\[ U'=\int_{R_1}^{R_2}E'\,dr=\gamma U. \]Заряд на единицу лабораторной длины вырос в \(\gamma\), а сам конденсатор стал короче в \(\gamma\), полный заряд тот же. Ёмкость всего куска \(C=Q/U\) падает в \(\gamma\); ёмкость на единицу лабораторной длины та же, на единицу собственной — растёт. Книга: «увеличится в \(\gamma\) раз» — как в 14.3.9а, про \(U\) (и про погонную ёмкость в собственной мере).
Появляется и \(B_\varphi=\beta E_r\): движущийся цилиндрический конденсатор несёт противоположные токи по обкладкам.
Цилиндрический конденсатор на оси — геометрический близнец плоского «вдоль пластин». Радиальное \(E\) строго поперечно \(\vec\beta\), поэтому \(E_r'=\gamma E_r=2\gamma\tau/r\). Радиусы не сокращаются, логарифм тот же, \(U'=\gamma U\). При \(\beta=0{,}6\), \(\gamma=1{,}25\) разность потенциалов вырастает на четверть. Заряд всего куска инвариантен (длина сжалась, погонный заряд вырос), ёмкость куска падает в \(\gamma\). Появляется \(B_\varphi=\beta E_r\): обкладки несут противоположные токи.
Инвариант \(E^2-B^2=(2\tau/r)^2\) совпадает с покоящимся цилиндром. При \(v\ll c\) добавка к \(U\) порядка \(\beta^2 U/2\), магнитное поле \(B\approx 2\tau v/(cr)\). Если бы конденсатор ехал поперёк оси, появилась бы продольная составляющая \(E\) и картина перестала быть осесимметричной — эта задача того не спрашивает.