Неподвижной сфере радиуса \(R\) с равномерно распределённым поверхностным зарядом \(Q\) сообщили скорость \(\beta c\). Определите максимальную электрическую напряжённость и максимальную и минимальную плотности поверхностного заряда в новом состоянии.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В покое \(\sigma_0=Q/(4\pi R^2)\), поле на поверхности \(E=Q/R^2\) (СГС). После сноса продольные размеры сокращаются в \(\gamma\): сфера → эллипсоид с полуосями \(R/\gamma\) и \(R\).
Кусочек поверхности у экватора имеет «длину вдоль скорости», которая сокращается в \(\gamma\), поперечная дуга не меняется, поэтому
\[ \sigma_{\max}=\gamma\sigma_0=\frac{Q}{4\pi R^2\sqrt{1-\beta^2}}. \]У полюса площадка почти поперечна скорости, сокращения нет:
\[ \sigma_{\min}=\sigma_0=\frac{Q}{4\pi R^2}. \]Поле снаружи на экваторе ведёт себя как поперечное поле заряда: оно растёт в \(\gamma\) относительно покоящегося значения \(Q/R^2\):
\[ E_{\max}=\frac{Q}{R^2\sqrt{1-\beta^2}}. \](На полюсе поле продольное и уменьшается, см. 14.3.12.)
Сфера с равномерным \(\sigma_0\) после буста — сплющенный эллипсоид. У экватора площадка имеет продольный размер, он сокращается: \(\sigma_{\max}=\gamma\sigma_0\). У полюса площадка поперечна скорости, \(\sigma_{\min}=\sigma_0\). Поле у экватора поперечно, \(E_{\max}=\gamma Q/R^2\). При \(\beta=0{,}6\), \(\gamma=1{,}25\) экватор несёт на 25 процентов больше заряда, полюса — как в покое. Инвариант \(\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}=0\) снаружи (появится \(B=[\vec\beta\times\mathbf{E}]\)), а \(E^2-B^2\) в каждой точке равен квадрату покоящегося кулонова поля в соответствующей точке сферы.
Полный заряд \(Q=\int\sigma\,dS\) не меняется: рост плотности на экваторе ровно компенсируется уменьшением площади. При \(v\ll c\) эллипсоид почти сфера, анизотропия \(\sigma\) порядка \(\beta^2\). При \(\beta\to1\) весь заряд набит в экваториальный поясок, \(E_{\max}\to\infty\), поле — «блин» задачи 14.3.12.