Определите распределение электрической напряжённости и магнитной индукции движущегося со скоростью \(\beta c\) заряда \(q\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В покое \(E_0=q/r^2\), \(B=0\). После сноса сфера радиуса \(r_0\) становится эллипсоидом с малой осью \(r_0/\gamma\). Поперечная составляющая поля растёт в \(\gamma\), продольная не меняется. Тангенс угла между \(\mathbf{E}'\) и скоростью растёт в \(\gamma\) — ровно так же, как тангенс угла радиус-вектора эллипсоида. Поэтому \(\mathbf{E}'\) по-прежнему вдоль \(\vec r\).
Величина, однако, зависит от угла \(\alpha\) между \(\vec r\) и \(\vec\beta\):
\[ \vec E=\frac{q\vec r}{r^3}\cdot\frac{1-\beta^2}{(1-\beta^2\sin^2\alpha)^{3/2}}. \]На экваторе (\(\alpha=90^\circ\)) поле в \(\gamma^2\) раз больше покоящегося \(q/r^2\); на оси (\(\alpha=0\)) — в \(\gamma^3\) раз меньше. Магнитного поля в покое не было, поэтому
\[ \vec B=[\vec\beta\times\vec E]. \]Линии \(B\) — окружности вокруг траектории заряда, сильнее всего сбоку, где \(E\) максимально.
Поле равномерно движущегося заряда — это буст кулона. \(E_\parallel'=E_\parallel\), \(E_\perp'=\gamma E_\perp\), и после пересчёта угла получается
\[ E=\frac{q}{r^2}\frac{1-\beta^2}{(1-\beta^2\sin^2\alpha)^{3/2}},\qquad \mathbf{B}=[\vec\beta\times\mathbf{E}]. \]При \(\beta=0{,}6\), \(\gamma=1{,}25\): на экваторе (\(\alpha=\pi/2\)) поле в \(\gamma=1{,}25\) раз больше покоящегося \(q/r^2\), на оси (\(\alpha=0\)) — в \(\gamma^2=1{,}56\) раз меньше. Книжное «в \(\gamma^3\) меньше» сравнивает с точкой на эллипсоиде, где продольный радиус уже \(r/\gamma\). Инварианты: \(\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}=0\), \(E^2-B^2=(q/r^2)^2(1-\beta^2)^2/(1-\beta^2\sin^2\alpha)^3\cdot(1-\beta^2\sin^2\alpha)\) сводится к квадрату кулона в сопутствующей точке.
При \(v\ll c\) анизотропия \(\sim\beta^2\), поле почти кулоново, \(B\approx qv\sin\alpha/(cr^2)\) — био–саваровское поле медленного заряда. При \(\beta\to1\) всё поле собрано в тонкий диск, перпендикулярный скорости: ультрарелятивистский «ударный блин». Поток через большую сферу по-прежнему \(4\pi q\).