Между неподвижными обкладками конденсатора со скоростью \(\beta c\) движется пластина из вещества с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\). Напряжённость электрического поля между диэлектриком и пластинами \(E\). Чему равна напряжённость электрического поля и индукция магнитного поля внутри диэлектрика?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть в лаборатории зазорное поле (между диэлектриком и обкладками) равно \(E\), то есть \(\sigma=E/(4\pi)\) на неподвижных обкладках. Снос на \(-\beta c\): обкладки получают \(\sigma'=\gamma\sigma\) и ток линейной плотности \(\gamma\sigma\beta c\). Внутри покоящегося диэлектрика
\[ E'=4\pi\gamma\sigma/\varepsilon,\qquad B'=4\pi\gamma\beta\sigma. \]Обратный снос (формулы 14.3.8, поле поперёк скорости) возвращает лабораторные поля внутри диэлектрика:
\[ E_{\text{вн}}=\gamma(E'-\beta B')=\gamma\cdot4\pi\gamma\sigma\Bigl(\frac1\varepsilon-\beta^2\Bigr)=4\pi\sigma\gamma^2\Bigl(\frac1\varepsilon-\beta^2\Bigr), \] \[ B_{\text{вн}}=\gamma(B'-\beta E')=4\pi\sigma\gamma^2\beta\Bigl(1-\frac1\varepsilon\Bigr). \]Через данное \(E=4\pi\sigma\):
\[ E_{\text{вн}}=\gamma^2 E\Bigl(\frac1\varepsilon-\beta^2\Bigr),\qquad B_{\text{вн}}=\gamma^2\beta E\Bigl(1-\frac1\varepsilon\Bigr). \]Останавливаем диэлектрик сносом на \(-\beta c\): обкладки получают \(\sigma'=\gamma\sigma\) и ток, внутри покоящегося \(\varepsilon\) поле \(E'=4\pi\gamma\sigma/\varepsilon\), \(B'=4\pi\gamma\beta\sigma\). Обратный буст по \(E_\perp'=\gamma(E-\beta B)\), \(B_\perp'=\gamma(B-\beta E)\) возвращает лабораторные
\[ E_{\mathrm{вн}}=\gamma^2 E\Bigl(\frac1\varepsilon-\beta^2\Bigr),\qquad B_{\mathrm{вн}}=\gamma^2\beta E\Bigl(1-\frac1\varepsilon\Bigr). \]При \(\beta=0{,}6\), \(\gamma=1{,}25\), \(\varepsilon=4\): \(E_{\mathrm{вн}}=1{,}56\,E(0{,}25-0{,}36)=-0{,}17\,E\), \(B_{\mathrm{вн}}=1{,}56\cdot0{,}6\cdot E\cdot0{,}75=0{,}70\,E\). Знак \(E\) внутри может даже смениться: магнитный вклад \(\beta B'\) перевешивает ослабленное \(E/\varepsilon\).
Пределы. \(\beta=0\): обычный \(E/\varepsilon\). \(\varepsilon=1\): пустота, \(E_{\mathrm{вн}}=E\), \(B=0\). \(\varepsilon\to\infty\): едущий проводник, \(E_{\mathrm{вн}}=-\gamma^2\beta^2 E\), почти полное вытеснение. Инвариант \(E\cdot B=0\) внутри держится: поля ортогональны.