Диэлектрическая пластина толщины \(h\) движется со скоростью \(\beta c\) между обкладками конденсатора, который пронизывается внешним магнитным полем с индукцией \(B\), перпендикулярной к обкладкам и пластине. Диэлектрическая проницаемость вещества пластины \(\varepsilon\). Определите разность потенциалов между разомкнутыми обкладками конденсатора.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Снос на \(-\beta c\): неподвижный диэлектрик сидит в \(B'=\gamma B\) (продольное \(B\) не меняется? \(B\) перпендикулярно пластинам и скорости, то есть \(B\perp\beta\), значит \(B'=\gamma B\)) и в электрическом \(E'=\gamma\beta B\) (формула 14.3.6). В диэлектрике электрическое поле ослабляется в \(\varepsilon\):
\[ E'_{\varepsilon}=\frac{\gamma\beta B}{\varepsilon}. \]Обратный снос:
\[ E=\gamma(E'_\varepsilon-\beta B')=\gamma\Bigl(\frac{\gamma\beta B}{\varepsilon}-\beta\gamma B\Bigr)=\gamma^2\beta B\Bigl(\frac1\varepsilon-1\Bigr), \]по модулю \(E=\gamma^2\beta(1-1/\varepsilon)B\). Разность потенциалов на толщине \(h\)
\[ U=Eh=\gamma^2\beta h B\Bigl(1-\frac1\varepsilon\Bigr). \]Обкладки разомкнуты: заряд на них не течёт, поле в зазорах определяется только поляризацией пластины. Если пластина заполняет зазор целиком, \(U\) — это и есть напряжение на конденсаторе.
Внешнее \(B\) перпендикулярно пластинам и скорости, значит поперечно: после сноса на \(-\beta c\) диэлектрик сидит в \(B'=\gamma B\) и в наведённом \(E'=\gamma\beta B\). В покоящемся \(\varepsilon\) электрическое поле слабеет в \(\varepsilon\) раз, магнитное почти не меняется. Обратный буст \(E=\gamma(E_\varepsilon'-\beta B')\) даёт \(U=\gamma^2\beta h B(1-1/\varepsilon)\). При \(\beta=0{,}6\), \(\gamma=1{,}25\), \(\varepsilon=4\): \(\gamma^2\beta(1-1/\varepsilon)=1{,}56\cdot0{,}6\cdot0{,}75=0{,}70\), то есть \(U=0{,}70\,hB\).
Это униполярная индукция в веществе. При \(\varepsilon=1\) пластина — пустота, поляризации нет, \(U=0\). При \(\varepsilon\to\infty\) (проводящая пластина) \(U=\gamma^2\beta h B\) — как эдс на перемычке, едущей в \(B\). При \(v\ll c\) множитель \(\gamma^2\to1\), остаётся школьное \(U=(v/c)hB(1-1/\varepsilon)\). Знак задаёт \([\vec v\times\vec B]\): какая обкладка плюс.