Во сколько раз изменится амплитуда плоской электромагнитной волны при переходе в систему координат, движущуюся со скоростью \(\beta c\) в направлении распространения волны?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Волна бежит вдоль \(x\), мы переходим в систему, едущую туда же со скоростью \(\beta c\). \(E_\parallel=0\), \(B_\parallel=0\), \(B=E\), \([\beta\times B]\) направлен против \(E\) (догоняем — поля слабеют):
\[ E'=\gamma(E-\beta B)=\gamma E(1-\beta)=E\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}. \]Амплитуда уменьшается в \(\sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)}\) раз, если система догоняет волну. Если в условии «в направлении распространения» читать как «система едет туда же», множитель \(<1\). Книга: «увеличится в \(\sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)}\)» — это если система едет навстречу волне. Формулировка двусмысленна; физика: навстречу — рост, вдогонку — падение. Печатный ответ — рост, значит они взяли встречное движение (как «переход к системе, в которой частота выше»).
Тот же множитель у частоты (продольный Доплер): амплитуда и частота плоской волны преобразуются одинаково, потому что \(E/\omega\) связано с числом фотонов.
У плоской волны \(E=B\), оба поля поперечны, \(\mathbf{B}=[\hat k\times\mathbf{E}]\). Догоняем волну: \(E'=\gamma(E-\beta B)=\gamma E(1-\beta)=E\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}\). При \(\beta=0{,}6\), \(\gamma=1{,}25\) амплитуда падает ровно вдвое: \(\sqrt{0{,}4/1{,}6}=1/2\). Навстречу (\(\beta\to-\beta\)) — растёт вдвое. Книжный ответ «увеличится» берёт встречное движение. Инвариант \(E^2-B^2=0\) сохраняется: \(E'=B'\) в любой системе.
Тот же множитель стоит у частоты (продольный Доплер): \(E/\omega\) связано с числом фотонов и не меняется. При \(v\ll c\) относительное изменение амплитуды \(\approx\pm\beta\), линейный Доплер. При \(\beta\to1\) вдогонку волна гаснет и краснеет, навстречу — жёстчает без предела. Поперечный буст (система едет поперёк луча) даёт аберрацию и другой множитель, эта задача его не спрашивает.