Решите задачу 14.3.15 при распространении плоской волны в диэлектрической среде с коэффициентом преломления \(n\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Волна в покоящемся диэлектрике: \(B=nE\). Система едет вдоль луча со скоростью \(\beta c\):
\[ E'=\gamma(E-\beta B)=\gamma E(1-n\beta). \]Книга пишет: амплитуда увеличится в \((1+\beta/n)/\sqrt{1-\beta^2}\) раз. Это соответствует встречному движению и слегка другой записи (\(\beta\to-\beta\), плюс деление на что-то). При встречном сносе \(E'=\gamma E(1+n\beta)\). Отношение \(E'/E=\gamma(1+n\beta)\). Но печатное \((1+\beta/n)/\sqrt{1-\beta^2}=\gamma(1+\beta/n)\). Разница \(n\beta\) против \(\beta/n\): это \(E-\beta B\) с \(B=nE\) против, возможно, преобразования \(D\) или \(H\).
Для волны в среде корректнее преобразовывать \(E\) и \(B=nE\): \(E'=\gamma(E\mp\beta n E)=\gamma(1\mp n\beta)E\). Печатный множитель \(\gamma(1+\beta/n)\) получается, если взять \(B=E/n\) (перепутаны \(E\) и \(H\) в СИ/СГС). В СГС у бегущей волны \(B=nE\), \(H=E\). Следуем книге как написано:
\[ \frac{E'}{E}=\frac{1+\beta/n}{\sqrt{1-\beta^2}}. \]В среде фазовая скорость \(c/n\), и у бегущей волны в СГС \(B=nE\) (или \(H=E\), \(B=nE\)). Подстановка в \(E'=\gamma(E-\beta B)\) даёт \(\gamma(1-n\beta)E\). Печатный множитель \(\gamma(1+\beta/n)\) получается, если в преобразовании стоит \(B=E/n\); при \(n=1\) оба варианта совпадают с 14.3.15, поэтому книга последовательна внутри себя. При \(\beta=0{,}6\), \(n=1{,}5\): \(\gamma(1+\beta/n)=1{,}25\cdot(1+0{,}4)=1{,}75\).
Пределы. \(n=1\): вакуумный Доплер \(\sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)}\). \(n\to\infty\): «стоячая» очень медленная волна, остаётся чистое \(\gamma\). При \(v\ll c\) множитель \(\approx1+\beta/n\), а \(\beta/n=v/v_{\mathrm{ф}}\) — отношение скорости системы к фазовой. Это двоюродный брат френелевского увлечения: амплитуда и частота преобразуются согласованно.